Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHB

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔAHC

=>\(\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{EAF}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

Gọi M là trung điểm của BC

=>AH<=AM

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

=>\(\frac12\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot AH\cdot BC\)

\(S_{AEHF}-S_{ABC}=\frac{AH^3}{BC}-\frac14\cdot AH\cdot BC=AH\left(\frac{AH^2}{BC}-\frac14\cdot BC\right)\)

\(=AH\left(\frac{AH^2}{BC}-\frac{BC}{4}\right)=AH\left(\frac{4\cdot AH^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)\le\left(\frac{4\cdot AM^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)=\left(\frac{\left(2\cdot AM\right)^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)=0\)

=>\(S_{AEHF}\le S_{ABC}\)

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>ΔABC vuông cân tại A

.

Lời giải:

a)

Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\)

Xét tam giác $AMN$ và $ABC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ABC\) (c.g.c)

b)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\) (cm)

Ta có:

\(\frac{AB.AC}{2}=S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2\) (cm)

c)

Vì \(NP\parallel AB\) nên áp dụng định lý Ta-lét ta có:

\(\frac{NP}{AB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{2}\Rightarrow NP=\frac{AB}{2}; NC=\frac{AC}{2}\)

Mặt khác, \(NP\parallel AB, AB\perp AC\Rightarrow NP\perp AC\)

Do đó:

\(S_{NPC}=\frac{NP.NC}{2}=\frac{\frac{AB}{2}.\frac{AC}{2}}{2}=\frac{AB.AC}{8}\)

\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{S_{NPC}}{S_{ABC}}=\frac{AB.AC}{8}: \frac{AB.AC}{2}=\frac{1}{4}\)

a) tính BC:

Áp dụng định lí Py-tago vào \(\Delta\)vuông ABC

ta có: BC²=BA²+AC²

       =>BC²= 6²+8²

     => BC²= 36+64

     =>BC²= 100

     => BC= \(\sqrt{100}\)

    => BC= 10 (cm)

b)c/m \(\Delta\)HAB đồng dạng \(\Delta\)HCA:

Ta có: - tam giác HAB đồng dạng với tam giác ABC ( \(\widehat{B}\)chung)

         - tam giác HAC đồng dạng với tam giác ABC ( \(\widehat{C}\)chung)

     => \(\Delta HAB\)đồng dạng \(\Delta HCA\)( cùng đồng dạng \(\Delta ABC\))

có bạn nào giúp minh câu c và d được k. mình k cho