Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại H'.

Đặt x=HD; 
Vì góc BAC nhọn và do H' đối xứng với H qua BC nên ta có: DH'=HD=x; CH'=CH=30
Áp dụng Pitago cho tg vuông ACH':

AC^2+(CH')^2=(AH')^2 -->AC^2+900=(14+2x)^2 (*)
Mặt khác CD^2= AD.DH' --> CD^2=(14+x).x (**)
trừ 2 vế (*) và (**):

AC^2+900-CD^2 =(14+2x)^2 -(14+x).x (***)
Mà AC^2-CD^2 =AD^2 =(14+x)^2;

Thế vào (***) ta được ph.tr:

(14+x)^2+900 =(14+2x)^2-(14+x)x ---> x^2+7x-450=0
phtr trên có nghiệm x= -25 (loại) và x= 18 (nhận)
AD= 14+x =14+18= 32 cm

a: Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>AC⊥CN

mà BH⊥AC
nên BH//CN

b:

Xét ΔABC có

AD là đường cao

H là trực tâm

Do đó: A,H,D thẳng hàng

Xét (O) có

\(\hat{AMB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{AMB}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ACB}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{HBD}\right)\)

nên \(\hat{BHD}=\hat{BMD}\)

=>ΔBHM cân tại B

ΔBHM cân tại B

mà BD là đường cao

nên D là trung điểm của HM

=>DH=DM

c: Gọi I là giao điểm của HN và BC

Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔABN vuông tại B

=>BN⊥BA

mà CH⊥BA

nên BN//CH

Xét tứ giác BHCN có

BH//CN

BN//CH

Do đó: BHCN là hình bình hành

=>BC cắt HN tại trung điêm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của BC và HN

Xét ΔAHN có

O,I lần lượt là trung điểm của AN,HN

=>OI là đường trung bình của ΔAHN

=>OI=AH/2=R/2

ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I và OI là phân giác của góc BOC

Xét ΔOIB vuông tại I có cos BOI=OI/OB=1/2

nên \(\hat{BOI}=60^0\)

OI là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BOI}=120^0\)

Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=60^0\)

Gọi H' đối xứng với H qua BC, D là giao điểm của AH và BC.

Dễ thấy BHCH' là hình thoi. 

\(\Rightarrow\Delta ABH'\)vuông tại B

\(\Rightarrow H'B^2=H'D.H'A\)

\(\Leftrightarrow BH^2=HD\left(2HD+14\right)\)

\(\Leftrightarrow30^2=HD\left(2HD+14\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}HD=18\\HD=-25\left(l\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AD=14+18=32\\BD=\sqrt{30^2-18^2}=24\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{32^2+24^2}=40\)

mình không biết làm

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.BC$

$\Rightarrow \frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2=\frac{9}{16}$

Mà $BH+CH=BC=BD+CD=15+20=35$ (cm)

Do đó:

$BH=35:(9+16).9=12,6$ (cm)

$CH=35:(9+16).16=22,4$ (cm)

Hình vẽ:

Sửa đề: BD=7,5cm

BC=7,5+10=17,5cm

AD là phân giác

=>AB/BD=aC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=17,5^2

=>k=3,5

=>AB=10,5cm; AC=14cm

AH=10,5*14/17,5=8,4cm

\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\dfrac{2\cdot10.5\cdot14}{10.5+14}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\left(cm\right)\)

 a) Ta có:

OB = OC (bán kính)

⇒ O nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao (gt)

⇒ AH cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AH là đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra O ∈ AH

⇒ O ∈ AD

Vậy AD là đường kính của (O)

b) Sửa đề: Tính độ dài các đường cao AH, BK của ∆ABC

Do AH là đường trung trực của BC (cmt)

⇒ H là trung điểm của BC

⇒ CH = BC : 2

= 12 : 2

= 6 (cm)

∆AHC vuông tại H

⇒ AC² = AH² + CH² (Pytago)

⇒ AH² = AC² - CH²

= 10² - 6²

= 64

⇒ AH = 8 (cm)

⇒ sinACH = AH/AC

= 4/5

⇒ ACH ≈ 53⁰

⇒ BCK ≈ 53⁰

∆BCK vuông tại K

⇒ sinBCK = BK/BC

⇒ BK = BC.sinBCK

= 10.sin53⁰

≈ 8 (cm)

A C H D 24 cm B

có:  HC . HB = AH² = 576  trong tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (1)

mà HC - HB = 14  => HC = 14 + HB

thay vào (1): HC . HB = (14 + HB) . HB = HB² + 14HB  = 576  

=> HB² + 14HB - 576 = 0  => (HB - 18) (HB + 32) = 0    => HB = 18 cm

=> HC = 14 + 18 = 32 cm    => BC = 18 + 32 = 50

=> AB² = BH . BC = 18 . 50 = 900    => AB = 30  cm

=> AC² = CH . BC = 32 . 50 = 1600  => AC = 40 cm

Có: BD/DC = AB/AC  => BD/AB = DC/AC  và BD + DC = 50

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đc:

\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{50}{70}=\frac{5}{7}\)

• => BD = 5 . AB = 5 . 30 : 7 = 150/7 cm

=> CD = 50 - 150/7 = 200/7 cm

=> HD = 50 - CD  - BH = 50 - 200/7 - 18 = 24/7 cm

xét tam giác vuông ADH: 

AD² = AH² + DH² = 24² + (24/7)² 

• => AD = \(\sqrt{24^2+\left(\frac{24}{7}\right)^2}\approx24,244\)cm

Ta có: HB.HC=AH^2=24^2=576. 
Biết được tích HB.HC là 576, hiệu HC-HB là 14(theo đầu bài)thì tính được BC=HB+HC 
(HC+HB)^2=(HC-HB)^2+4.HC.HB (cái này bạn khai triển ra là thấy)=14^2+4.576 =2500 
=> HC+HB=căn(2500)=50=>BC=50=>BD+DC=50( vì BD+DC=BC) 
HC+HB=50 mà HC-HB=14=> HC=32 và HB=18( tính hai số biết tổng và hiệu) 
Biết được tổng BD+DC, để tính được BD, ta đi tính tỉ số BD/DC: 
BD/DC=AB/AC ( vì AD là phân giác của tam giác ABC)=>BD=150/7 
=>HD=BD-HB=150/7-18=24/7. 
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHD ta có: 
AD^2=AH^2+HD^2=24^2+(24/7)^2=28800/49 
=>AD=căn(28800/49) sấp sỉ 24,244.