Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
đk: x\(x\ge2,y\ge-1999,z\ge2000\)
pt <-> 2VT=x+y+z
<-> (x-2-\(2\sqrt{x-2}\)+1)+(y+1999-\(2\sqrt{y+1999}\)+1)+(z-2000-\(2\sqrt{z-2000}\)+1)=0
<-> \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2\)+\(\left(\sqrt{y+1999}-1\right)^2\)+\(\left(\sqrt{z-2000}-1\right)^2\)=0
<-> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y+1999}-1=0\\\sqrt{z-2000}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=-1998\\z=2001\end{cases}}}\)(tm)
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )
\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)
Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)
\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)
\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
KL....
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
nguyen van tuan
Bài này là tớ đăg lên ! Nhưg hôm nay thầy tớ giải rồi! Tớ đăg lời giải lên đây cho mấy bạn tham khảo ạ! ko kiếm GP nhá!
Câu 1 :
Vì x > y \(\Rightarrow\) \(x-y>0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
Vì \(xy=1\Rightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi x; y
Câu 2:
\(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) ( vì a+b = 1 )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
Vì \(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)
\(\Rightarrow a^2+\left(1-a\right)^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2a+\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi a;b
Dấu "=" xảy ra khi
\(2a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Mysterious Person
câu 1 : \(x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\)
phải bằng \(\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\) mới đúng nha bn
không phải bằng : \(\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\) đâu
* mà ở đoạn (vì \(xy=1\) nên \(x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\))
bn nên giải rỏ rằng ( vì \(2xy=2.1=2\) nên \(\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy=0\) mới đc)
Mysterious Personthế ko cần có dấu "=" xảy ra à
câu 2 :
* \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a ^2-ab+b^2\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) mới đúng
không phải bằng : \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) đâu nha
bn thùy ninh đã giải rồi nhưng để mk giải chi tiết cho mọi người hiểu rỏ hơn
khúc đầu giải như bn thùy ninh
ta có \(x>y\Leftrightarrow x-y>0\) vậy nên ta không cần tìm điều kiện
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
ta có ( \(xy=1\) nên ta có : \(\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy=0\) )
\(\Rightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy+2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\) (đúng với mọi \(x;y\) )
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-y-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x-y=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(-y\right)=\sqrt{2}\)
ta lại có \(xy=1\Leftrightarrow x.\left(-y\right)=-1\)
\(\Rightarrow\) \(x\) và \(\left(-y\right)\) là nghiệm của phương trình \(X^2-\sqrt{2}X-1=0\)
\(\Delta=\left(-\sqrt{2}\right)^2-4.1.\left(-1\right)=2+4=6>0\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(X_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) ; \(X_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)
vậy ta có : \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
vậy .................................................................................................................................
giải thích hộ với
T.Thùy Ninh : ủa bn nói bn hok lớp 9 mà ; cái này là kiến thức cơ bn nhất của lớp 9 đó bn
Mysterious Personlp 9 mới hc đến căn bậc hai thôi - chưa hc cái j hết - nâg cao phần đấy cx chưa! giải thích dùm nhá
Mysterious Person : đó là cách lập phương trình bật 2 bằng tích và tổng của 2 số đó bn ; (theo định lí vi ét đảo) ; sau đó sử dụng công thức tính đenta để tìm nghiệm khi đã có phương trình
lộn ; tự tang tên mk luôn
T.Thùy Ninh
Mysterious Personhaizz ! Đúg là chưa có hc mà ! -_- có cáh nào giải theo cách lp 8 hog
o có bn ơi T.Thùy Ninh
Mysterious Personhì thé ko cần đc ko
tùy bn thôi T.Thùy Ninh
@Mysterious Person ko phải ! ý t là ko có nó có sai hôg
T.Thùy Ninh : o sai nhưng sẻ bị trừ điểm trong bài này
Mysterious Personcảmơn ! t cm đc r !
mà bn dậy sớm thế
T.Thùy Ninh : bn cũng v mà
@Mysterious Person đc hm nay dậy sớm hc văn
T.Thùy Ninh : y trang mk
T.Thùy Ninh : còn 1 cách nữa ; ta có thể rút x hay y ra từ 1 trong 2 phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x-y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) rồi thế vào phương trình còn lại .