Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$.

Theo đề: $\dfrac{1}{3} a^2 h = \dfrac{2a^3}{3} \Rightarrow h = 2a$.

Suy ra $S(0,0,2a)$.

Xét mặt phẳng $(SAD)$: $\vec{SA} = (0,0,2a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{AD} = (-2a^2,0,0)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-2a),\ \vec{SD} = (0,a,-2a)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2a^2,2a^2,a^2)$.

Tính: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = -4a^4 \Rightarrow |\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 4a^4$.

$|\vec{n_1}| = 2a^2,\quad |\vec{n_2}| = 3a^2$.

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{4a^4}{2a^2 \cdot 3a^2} = \dfrac{2}{3}$.

Đáp án: B. $\cos\alpha = \dfrac{2}{3}$

ĐÁP ÁN: D

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SD$:

$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.

⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.

Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án C

Kẻ AH ⊥BD

Khi đó  

Mà   nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA=α.

Suy ra 

Do đó 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5h^2}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2a}$

Vì đề không cho $SA$ nên góc không cố định theo $h$.

Trong các đáp án chỉ có dạng hằng số phù hợp với trường hợp chuẩn (lấy $h = 2a$ như bài quen thuộc), khi đó:

$\tan\alpha = \dfrac{2a\sqrt{5}}{2a} = \sqrt{5}$.

Đáp án: C. $\sqrt{5}$

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$

Đáp án A.

Gọi H là hình chiếu của C trên SO và góc S O C ^  tù nên H nằm ngoài đoạn SO => CH ⊥ (SBD)

=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là C S O ^

Lại có 

ĐÁP ÁN: A

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, tức là tâm $O$ của hình chữ nhật.

⇒ $O\left(\dfrac{a}{2},a,0\right)$, đặt $S\left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|(\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}))|}{|\vec{AB} \times \vec{SD}|}$

với $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SD} = (a,0,0) \times \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right) = (0,ah,a^2)$.

$\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}) = \dfrac{a}{2}\cdot 0 + a\cdot ah + h\cdot a^2 = a^2h + a^2h = 2a^2h$.

$|\vec{AB} \times \vec{SD}| = \sqrt{(ah)^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Suy ra: $d = \dfrac{2a^2h}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Theo đề:
$\dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra: $\dfrac{4h^2}{h^2 + a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3h^2 + 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2$

⇒ $h = a\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO$

$S_{ABCD} = 2a^2,\quad SO = h = a\sqrt{3}$

Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$

Đáp án C

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 3a$ nên chiều cao của khối chóp là $3a$.

Thể tích hình chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot 3a = 2a^3$.

Đáp án: C. $2a^3$