Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Xét hàm số f ( x ) = x 3 + x - 1 , ta có f(0) = -1 và f(1) = 1 nên: f(0).f(1) < 0.
- Mặt khác: f ( x ) = x 3 + x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [0;1].
- Suy ra f ( x ) = x 3 + x - 1 đồng biến trên R nên phương trình x 3 + x - 1 = 0 có nghiệm duy nhất x 0 ∈ ( 0 ; 1 ) .
- Theo bất đẳng thức Côsi:
a) Hàm số f(x) = 2x3 + 6x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Mặt khác vì f(0).f(1) = 1.(-3) < 0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).
Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) Hàm số g(x) = cosx – x xác định trên R nên liên tục trên R.
Mặt khác, ta có g(0).g(π/2) = 1. (-π/2) < 0 nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (0; π/2).
a) Hàm số f(x) = 2x3 + 6x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Mặt khác vì f(0).f(1) = 1.(-3) < 0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).
Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) Hàm số g(x) = cosx - x xác định trên R nên liên tục trên R.
Mặt khác, ta có g(0).g() = 1. (-
) < 0 nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (0;
).
a: \(P\left(x\right)=x^3+2x^2-7x-16\)
=>P'(x)=\(3x^2+2\cdot2x-7=3x^2+4x-7=3x^2+7x-3x-7=\left(3x+7\right)\left(x-1\right)\)
Đặt P'(x)=0
=>(3x+7)(x-1)=0
=>x=1 hoặc x=-7/3
Đặt P'(x)<0
=>(3x+7)(x-1)<0
=>-7/3<x<1
mà x dương
nên 0<x<1
\(P\left(0\right)=0^3+2\cdot0^2-7\cdot0-16=-16\)
\(P\left(1\right)=1^3+2\cdot1^2-7\cdot1-16=1+2-7-16=3-7-16=-20\)
Vì P'(x)<0 khi 0<x<1 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
mà P(0)=-16; P(1)=-20
nên P(x)=0 không có nghiệm trong đoạn (0;1)
Đặt P'(x)>0
=>(3x+7)(x-1)>0
mà 3x+7>0
nên x-1>0
=>x>1
=>Hàm số đồng biến khi x∈(1;+∞)
P(1)=-20
\(\lim_{x\to+\infty}P\left(x\right)=\lim_{x\to+\infty}x^3+2x^2-7x-16=+\) ∞
Do đó, ta có: Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, phương trình P(x)=0 có 1 nghiệm duy nhất trên khoảng (1;+∞)
hay P(x)=0 có một nghiệm dương duy nhất
\(Q\left(x\right)=x^3+3x^2+8x-4\)
=>Q'(x)=\(3x^2+3\cdot2x+8=3x^2+6x+8=3x^2+6x+3+5\)
\(=3\left(x+1\right)^2+5\ge5>0\forall x\)
=>Q(x) luôn đồng biến trên R
=>Q(x) luôn đồng biến trên (0;+∞)
\(Q\left(0\right)=0^3+3\cdot0^2+8\cdot0-4=-4\)
=> Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, phương trình Q(x)=0 có một nghiệm duy nhất trên khoảng (0;+∞)
hay Q(x)=0 có một nghiệm dương duy nhất