Cho đường tròn (O; R). Qua điểm K ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến KA , KB và cát tuyến KCD (A, B là các tiếp điểm, C nằm giữa K và D. H là trung điểm của C Gọi M là giao điểm của AB và OK. Chứng minh: 5) KA2 = KC. KD 6) KC. KD = KM. KO 7) MK.MO = AM2 8) OM. OK + KC. KD = KO2 9) 𝐴𝐶 𝐴𝐷 = 𝐾𝐶 𝐾𝐴 10) 𝐴𝐷𝐵 ̂ = 𝐴𝐻𝐾 ̂ 11) Gọi I là giao điểm của đường tròn (O; R) và đoạn thẳng OK. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆𝐾𝐴𝐵 C O K A B D H 1 1 1 M C K O A B D H 2 2 1 C K O A B D 1) Chứng minh tứ giác KAOB nội tiếp. 2) Tứ giác KAHO nội tiếp. 3) Tứ giác KBOH nội tiếp.

Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.

a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếp

b) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD= MH.AN

Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA=CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.

a) C/m: MOCD là hình bình hành

b) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Kẻ EF vuông góc với AC, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K; EB cắt AN tại H. C/m: BHIK nội tiếp.

Câu 3: Cho (O;R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO=2R. Vẽ tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp tuyến). Vẽ cát tuyến SDE (D nằm giữa S và E), điểm O nằm trong góc ESB. Từ O kẻ đường vuông góc với OA cắt SB tại M. Gọi I là giao điểm của OS và (O).

a) C/m: MI là tiếp tuyến của (O)

b) Qua D kẻ đường vuông góc với OB cắt AB tại H và EB tại K. C/m: H là trung điểm của DK.

Từ một điểm P nằm ngoài đg tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA,PB vẽ cát tuyến PMD (PM<PD) nằm giữa hai tia PA,PO.Gọi K là Trung điểm của MD,PO cắt AB tại H.
a) CM.4 điểm P ,K,O,B cùng thuộc 1 đg tròn.
b) CM PA^2=PM.PD và MHD=2MBD
c) Đường thẳng qua K song song với BD cắt AB tại N
Chứng minh MN vuông BO và MAD=BHD
d) giả sử góc AOB=120° và cát tuyến PMD ko đổi tính góc tạo bởi cát tuyến PMD và dây AB để 1/KA+1/KB đạt min

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ 2 tiếp tuyến KA,KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ kiểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại 2 điểm C,D (KC < KD, d không đi qua tâm O.

1) C/m: tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp 

2) Gọi giao điểm của đoạn AB với đoạn OK là M. C/m KA^3 = KC.KD = KM.KO

3) C/m: đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD

Cho đường tròn (O) . Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB tới đường tròn ( .A, B là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ KO chứa điểm A, vẽ cát tuyến KCD của đường tròn ( C nằm giữa K và D). Gọi I là trung điểm của CD .
a) Chứng minh bốn điểm K.O,H.B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HK là giác của góc AHB.
c) Kẻ đường kính AI. Nối IC và ID cắt KO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON .

Cho đường tròn (O) . Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB tới đường tròn ( .A, B là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ KO chứa điểm A, vẽ cát tuyến KCD của đường tròn ( C nằm giữa K và D). Gọi I là trung điểm của CD .
a) Chứng minh bốn điểm K.O,H.B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HK là giác của góc AHB.
c) Kẻ đường kính AI. Nối IC và ID cắt KO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON .

Cho đường tròn (O)  và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA,KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C,D (KC <KD, d không đi qua tâm O).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh KA²=KC.KD =KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD