V.

\(95^8< 100^8=10^{16}\)

Mà \(10^{16}\) có 17 chữ số nên \(95^8\) có ít hơn 17 chữ số (1)

Lại có: \(95^8>90^8=10^8.9^8=10^8.81^4>10^8.80^4=10^{12}.2^{12}>10^{12}.2^{10}>10^{12}.10^3=10^{15}\)

\(\Rightarrow95^8\) có nhiều hơn 15 chữ số  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow95^8\) có 16 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân

III.

1. Xét hiệu:

\(A-B=\dfrac{2019^{2020}+1}{2019^{2019}+1}-\dfrac{2019^{2019}+1}{2019^{2018}+1}=\dfrac{\left(2019^{2020}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)-\left(2019^{2019}+1\right)^2}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2019^{4028}+1+2019^{2020}+2019^{2018}-2019^{4028}-2.2^{2019}-1}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2019^{2020}-2019^{2019}+2019^{2018}-2019^{2019}}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2019^{2019}\left(2019-1\right)-2019^{2018}\left(2019-1\right)}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2018.2019^{2019}-2018.2019^{2018}}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}=\dfrac{2018.2019^{2018}\left(2019-1\right)}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2018^2.2019^{2018}}{\left(2019^{2019}+1\right)\left(2019^{2018}+1\right)}>0\)

\(\Rightarrow A>B\)

III.

2.

Ta có: \(\dfrac{121}{122}< \dfrac{123}{124}\) ; \(\dfrac{123}{124}< \dfrac{124}{125}\);...; \(\dfrac{9023}{9024}< \dfrac{9024}{9025}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{122}{123}.\dfrac{124}{125}.\dfrac{126}{127}...\dfrac{9024}{9025}\)

\(\Rightarrow A.A< \left(\dfrac{121}{122}.\dfrac{123}{124}.\dfrac{125}{126}...\dfrac{9023}{9024}\right).\left(\dfrac{122}{123}.\dfrac{124}{125}.\dfrac{126}{127}...\dfrac{9024}{9025}\right)=\dfrac{121}{9025}\)

\(\Rightarrow A^2< \dfrac{121}{9025}\Rightarrow A< \dfrac{11}{95}\)

IV.1

\(\left\{{}\begin{matrix}AC+CB=AC=10\\AD+CB=13\end{matrix}\right.\) (1)

\(\Rightarrow AC+CB< AD+CB\)

\(\Rightarrow AC< AD\Rightarrow\) C nằm giữa A và D 

2.

Do C nằm giữa A và D \(\Rightarrow AC+CD=AD\)

\(\Rightarrow CD=AD-AC\)

Mặt khác, trừ vế cho vế (1) ta được:

\(AD+CB-\left(AC+CB\right)=13-10\)

\(\Rightarrow AD-AC=3\)

\(\Rightarrow CD=3\) (cm)

II.

1a.

\(\left(x-20\right)+\left(x-19\right)+...+99+100=100\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-20+100\right)\left[100-\left(x-20\right)+1\right]}{2}=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x+20\right)\left(121-x\right)=200\)

\(\Leftrightarrow x^2-41x-9480=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-79\\x=120\end{matrix}\right.\)

b.

Đặt \(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}\)

\(\Rightarrow2A=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{2019}}\)

\(\Rightarrow2A-A=1-\dfrac{1}{2^{2020}}\)

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{1}{2^{2020}}\)

Do đó pt trở thành:

\(213-x\left(1-\dfrac{1}{2^{2020}}\right):\left(1-\dfrac{1}{2^{2020}}\right)=13\)

\(\Leftrightarrow213-x=13\Rightarrow x=200\)

II. 

3.

Gọi số đó là n, do \(n\) chia 7 dư 1 và chia 9 dư 3 nên \(n+6\) chia hết cho cả 7 và 9

Mà 7 và 9 nguyên tố cùng nhau\(\Rightarrow n+6=7.9.k=63k\Rightarrow n=63k-6\)

Mặt khác n chia 17 dư 13 \(\Rightarrow63k-6\) chia 17 dư 13

\(\Rightarrow3.17k+12k-6\) chia 17 dư 13\(\Rightarrow12k-6=17p+13\)

\(\Rightarrow12\left(k-6\right)=17\left(p-3\right)\)

Do 12 và 17 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow k-6⋮17\)

Mà ta cần tìm số nhỏ nhất \(\Rightarrow k_{min}=6\)

\(\Rightarrow n_{min}=63.6-6=372\)

Vậy số cần tìm là 372

II.

2. 

\(19x^4+57=y^2\Rightarrow y^2>57\Rightarrow y>2\)

Nếu \(x\) lẻ \(\Rightarrow19x^4\) lẻ \(\Rightarrow19x^4+59\) chẵn

\(\Rightarrow y^2\) chẵn \(\Rightarrow y\) chẵn \(\Rightarrow y=2\) (vô lý, trái với suy luận \(y>2\) bên trên)

\(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow19.2^4+57=y^2\Rightarrow y^2=361\Rightarrow y=19\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;19\right)\)

1.

a. Xét \(1+\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó:

\(A=\dfrac{2^2}{1.3}.\dfrac{3^2}{2.4}...\dfrac{2019^2}{2018.2020}=\dfrac{2.3...2019}{1.2...2018}.\dfrac{2.3...2019}{3.4...2020}=\dfrac{2019}{1}.\dfrac{2}{2020}=\dfrac{2019}{1010}\)

b.

\(B=3+3^2+...+3^{2020}\)

\(3B=3^2+3^3+...+3^{2020}+3^{2021}\)

\(\Rightarrow3B-B=3^{2021}-3\Rightarrow B=\dfrac{3^{2021}-3}{2}\)

Với 1 số nguyên dương a bất kì, nếu \(B⋮a\) thì \(B⋮\left(-a\right)\), do đó nếu B có \(k\) ước nguyên dương thì cũng có  \(k\) ước nguyên âm tương ứng

Do đó, số ước số của 1 số luôn là số chẵn.

Vậy B không thể có 75 ước, do 75 là số lẻ.

\(k_{min}\) \(với\) \(n_{min}\) \(là\) \(gì?\)