\(P=\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{4}{5^5}+...+\frac{11}{5^{12}}\)

\(\Rightarrow\)\(5P=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+...+\frac{11}{5^{11}}\)

\(\Rightarrow\)\(4P=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+...+\frac{1}{5^{11}}-\frac{1}{5^{12}}\)

\(\Rightarrow\)\(20P=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{10}}-\frac{1}{5^{11}}\)

\(\Rightarrow\)\(16P=1-\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{5^{12}}-\frac{1}{5^{11}}\)\(< 1\)

\(\Rightarrow\)\(P< \frac{1}{16}\)

P/s: nguyên tác: https://olm.vn/thanhvien/nhatphuonghocgiot

Đạt BD

mai tớ cho bài này nhé quen bài này ở lớp zùi

A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}=\frac11-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}=\frac12-\frac13\)

....................................

\(\frac{1}{n^2}\) = \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\) = \(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

cộng vế với vế ta có:

A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\) < \(\frac11-\frac{1}{n}<1\) (đpcm)

Bài 1:

Xét các phân số: 3/4; 6/5; 9/10

Để phân số trên khi nhân với cùng một số nguyên dương nhỏ nhất đều trở thành số nguyên thì số nguyên dương đó phải là bội chung của 4; 5; 10. Vì đo là số nguyên dương nhỏ nhất nên số đó là bội chung nhỏ nhất của 4; 5; 10

4 = 2^2; 5 = 5; 10 = 2.5

BCNN(4; 5; 10) = 2^2.5 = 20

Vậy số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là: 20

Bài 2:

M = 1/2.3/4.5/6...99/100

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\) (a; b; n ∈ N* và b > a)

\(\frac{a+n}{b+n}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+n}\)

\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+n}{b+n}\)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(\frac12<\frac{1+1}{2+1}=\frac23\)

\(\frac34<\frac{3+1}{4+1}=\frac45\)

\(\frac56\) < \(\frac{5+1}{6+1}\) = \(\frac67\)

............................

\(\frac{99}{100}\) < \(\frac{99+1}{100+1}\) = \(\frac{100}{101}\)

Cộng vế với vế ta có:

M = \(\frac12\).\(\frac34\).\(\frac56\)...\(\frac{99}{100}\) < \(\frac23\).\(\frac45\)..\(\frac{100}{101}\) = N

M < N (đpcm)

b; M.N = \(\frac12\).\(\frac34\).\(\frac56\)...\(\frac{99}{100}\).\(\frac23\).\(\frac45\)..\(\frac{100}{101}\)

M.N = \(\frac{1.3.5\ldots99}{3.5\ldots101}\). \(\frac{2.4.6\ldots100}{2.4.6\ldots100}\)

M.N = 1/100.101

Mình còn chưa học lớp 6 huhu

\(S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{49.50}< 1\)

\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}< 1\)

\(S=1-\frac{1}{50}< 1\)

\(S=\frac{49}{50}< 1\left(đpcm\right)\)

A= \(\frac{1}{4}\)+\(\frac{1}{4^2}\)+\(\frac{1}{4^3}\)+....+\(\frac{1}{4^8}\)

4A=1 +\(\frac{1}{4^{ }}\)+\(\frac{1}{4^2}\)+\(\frac{1}{4^3}\)+...+\(\frac{1}{4^7}\)

ta có 4A-A= 1- \(\frac{1}{4^8}\)

           3A=1-\(\frac{1}{4^8}\)

              A= (1-\(\frac{1}{4^8}\)):3

Đặt \(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2014^2}\)

Ta có : \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

            \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

            \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)

             ...

            \(\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{2013.2014}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2013.2014}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}-\frac{1}{2014}< \frac{1}{2}\)  

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

Vậy A<\(\frac{3}{4}\)

A<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2013.2014}\)=\(\frac{2013}{2014}\)<\(\frac{3}{4}\)