Bài 1:

Gọi vận tốc dự kiến là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc thực tế là x+10(km/h)

Thời gian dự kiến là \(\frac{90}{x}\) (giờ)

Thời gian thực tế là \(\frac{90}{x+10}\) (giờ)

Người đó đến sớm hơn dự định 45p=3/4 giờ nên ta có:

\(\frac{90}{x}-\frac{90}{x+10}=\frac34\)

=>\(\frac{30}{x}-\frac{30}{x+10}=\frac14\)

=>\(\frac{30x+300-30x}{x\left(x+10\right)}=\frac14\)

=>\(\frac{300}{x\left(x+10\right)}=\frac14\)

=>x(x+10)=1200

=>\(x^2+10x-1200=0\)

=>(x+40)(x-30)=0

=>x=-40(loại) hoặc x=30(nhận)

Vậy: Vận tốc dự kiến là 30km/h

Bài 2:

Gọi vận tốc của người thứ nhất là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của người thứ hai là: \(x\cdot\frac45=0,8x\) (km/h)

Tổng vận tốc của hai người là x+0,8x=1,8x(km/h)

Độ dài quãng đường AB là: \(1,8x\cdot2=3,6x\left(\operatorname{km}\right)\)

Thời gian người thứ nhất đi hết quãng đường là:

3,6x:x=3,6(giờ)

Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường là:

3,6x:0,8x=3,6:0,8=4,5(giờ)

Bài 4:

Gọi chiều dài và chiều rộng lần lượt là a(m) và b(m)

(ĐIều kiện: b>0; a>5)

Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm \(5m^2\) nên ta có;

(a-5)(b+2)=ab+5

=>ab+2a-5b-10=ab+5

=>2a-5b=15

=>2a=5b+15

=>a=2,5b+7,5

Diện tích ban đầu là \(100m^2\) nên ta có: ab=100

=>b(2,5b+7,5)=100

=>2,5b(b+3)=100

=>b(b+3)=40

=>\(b^2+3b-40=0\)

=>(b+8)(b-5)=0

=>b=-8(loại) hoặc b=5(nhận)

Vậy: Chiều rộng là 5m

Chiều dài là 100/5=20(m)

Bài 2:

Nửa chu vi khu vườn là 48:2=24(m)

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là a(m), b(m)

(ĐIều kiện: a>0; b>0)

Nửa chu vi khu vườn là 24m nên a+b=24(1)

Nửa chu vi khu vườn lúc sau là 162:2=81(m)

Nếu tăng chiều rộng thêm 4 lần và tăng chiều dài thêm 3 lần thì nửa chu vi là 81m nên 3a+4b=81(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}a+b=24\\ 3a+4b=81\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a+3b=72\\ 3a+4b=81\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3a+4b-3a-3b=81-72\\ a+b=24\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=9\\ a=24-b=24-9=15\end{cases}\) (nhận)

Diện tích khu vườn ban đầu là \(9\cdot15=135\left(m^2\right)\)

Bài 3:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

b: BC=BH+CH=4+9=13(cm)

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot6\cdot13=3\cdot13=39\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=4\cdot13=52\)

=>\(BA=2\sqrt{13}\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CA^2=9\cdot13=117\)

=>\(CA=3\sqrt{13}\) (cm)

Chu vi tam giác ABC là;

AB+AC+BC

\(=2\sqrt{13}+3\sqrt{13}+13=5\sqrt{13}+13\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)

Bài 4:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=8\cdot6=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=8^2/10=6,4(cm)

BH+HC=BC

=>HC=10-6,4=3,6(cm)

c: Xét tứ giác APMQ có \(\hat{APM}=\hat{AQM}=\hat{PAQ}=90^0\)

nên APMQ là hình chữ nhật

=>AM=PQ

B3 

1) \(\sqrt{ }\)(2x-1)² =5 

\(\Leftrightarrow\) |2x-1| =5 

\(\Leftrightarrow\) 2x-1 =5 hoặc 2x -1 = -5 

\(\Leftrightarrow\) 2x=6 hoặc 2x= -4 

\(\Leftrightarrow\) x=3 hoặc x= -2 

2) 4-5x = 144 

\(\Leftrightarrow\) -5x =140 

\(\Leftrightarrow\) x= -60 

3) \(\sqrt{ }\)(2x-2)²=2x-2 

\(\Leftrightarrow\) | 2x -2 | =2x-2 

\(\Leftrightarrow\) 2x-2 =2x-2 hoặc 2x-2 =-2x +2 

\(\Leftrightarrow\) 0x=0 (loại ) hoặc x=2 ( nhận ) 

Bạn nên tách lẻ các bài ra post riêng. Đăng thế này chiếm diện tích, khó quan sát => mọi người dễ bỏ qua bài của bạn.

Ta có : \(\frac{AB}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow AB=\frac{1}{4}AC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{64}=\frac{1}{\left(\frac{1}{4}AC\right)^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow AC=8\sqrt{17}\)cm

\(\Rightarrow AB=\frac{8\sqrt{17}}{4}=2\sqrt{17}\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=34\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=2\)cm 

-> HC = BC - HB = 32 cm 

19) Ta có: \(\sqrt[3]{x^3+9x^2}=x+3\)

\(\Leftrightarrow x^3+9x^2=\left(x+3\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+9x^2=x^3+9x^2+27x+27\)

\(\Leftrightarrow27x+27=0\)

\(\Leftrightarrow27x=-27\)

hay x=-1

Vậy: S={-1}

6) Ta có: \(\sqrt{9x^2-6x+1}-x=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3x-1\right)^2}=x+4\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-1\right|=x+4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=x+4\left(x\ge\dfrac{1}{3}\right)\\1-3x=x+4\left(x< \dfrac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-x=4+1\\-3x-x=4-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=5\\-4x=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{-3}{4}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(S=\left\{\dfrac{5}{2};\dfrac{-3}{4}\right\}\)

8)

ĐKXĐ: \(x>2\)

Ta có: \(\sqrt{x^2+2x+4}=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+4=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+4-x^2+4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow6x=0\)

hay x=0(loại)

Vậy: \(S=\varnothing\)

9) Ta có: \(\sqrt{x^2-6x+9}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=5\\x-3=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: S={8;-2}

22.

ĐKXĐ: \(y\ne1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-\dfrac{1}{y-1}=2\\2x^2+\dfrac{3}{1-y}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+\dfrac{2}{1-y}=4\\2x^2+\dfrac{3}{1-y}=2\end{matrix}\right.\)

Trừ pt dưới cho trên:

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1-y}=-2\)

\(\Rightarrow1-y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}\)

Thế vào \(x^2-\dfrac{1}{y-1}=2\)

\(\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{3}{2}\right);\left(-2;\dfrac{3}{2}\right)\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ne-\dfrac{1}{2}\)

\(Hệ\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y^2-\dfrac{10}{2x+1}=8\\2y^2-\dfrac{11}{2x+1}=7\end{matrix}\right.\)

Trừ pt trên cho dưới:

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+1}=1\)

\(\Rightarrow2x+1=1\)

\(\Rightarrow x=0\)

Thế vào \(y^2-\dfrac{5}{2x+1}=4\)

\(\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(0;3\right);\left(0;-3\right)\)

ĐK : \(x\ge-1\)

pt<=> \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=1\)(bình phương 2 vế  ko âm)

<= .\(x^3+x^2+x+1=1\)

<=> \(x\left(x^2+x+1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2+x+1=0\end{cases}}\)(vô lí )

vậy x=0