a)  BD, CE là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DA = DC;   EA =EB

\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)ED // BC;  ED = 1/2 BC

\(\Delta GBC\)có   MG = MB;   NG = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC;   MN = 1/2 BC

suy ra:  MN // ED;    MN = ED

\(\Rightarrow\)tứ giác MNDE là hình bình hành

c) MN = ED = 1/2 BC

\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC

a. Xét tam giác HCD cóHN=DN;HM=CM 

=> MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN//DC

=> DNMC là hình thang

b. Ta có MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN=1/2CD

Mà AB=1/2CD => AB =MN

Do MN//CD và AB//CD => AB//MN

Xét tứ giác ABMN có AB//MN; AB=MN

=> ABMN là hình bình hành

c.Ta có MN//CD mà CD vg AD

=> MN vg AD

Xét tam giác ADM có DH và MN là 2 đường cao của tam giác 

Mà chúng cắt nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác ADM

=> AN là đường cao của tam giác ADM

=> AN vg DM

Do ABMN là hình bình hành nên AN//BM

=> BM vg DM => BMD =90*

a) Vì tam giác ABC vuông tại A 

=> BAC = 90 độ

=> Vì K là hình chiếu của H trên AB 

=> HK vuông góc với AB

=> HKA = 90 độ

=> HKA = BAC = 90 độ

=> KH // AI 

=> KHIA là hình thang

Mà I là hình chiếu của H trên AC

=> HIA = 90 độ

=> HIA = BAC = 90 độ

=> KHIA là hình thang cân

b) Vì KHIA là hình thang cân

=> KA = HI 

=  >KI = HA 

Xét tam giác KAI vuông tại A và tam giác HIC vuông tại I có

KA = HI

KI = AH 

=> Tam giác KAI = tam giác HIC ( cgv-ch)

=> KIA = ACB ( DPCM)

c) con ý này tớ nội dung chưa học đến  thông cảm

A B C D E 1 2 1

Qua B kẻ đường thẳng song song cới AD và cắt tia CA tại E.

Ta có: ^A₁=^B₁ (So le trong); ^A₂=^E (Đồng vị). Mà ^A₁=^A₂ => ^B₁=^E

=> \(\Delta\)BAE cân tại A => AE=AB=2

Sử dụng định lí Ta-lét: \(\frac{AD}{EB}=\frac{AC}{EC}\Rightarrow\frac{1,2}{EB}=\frac{3}{AC+AE}\Rightarrow\frac{1,2}{EB}=\frac{3}{3+2}\Rightarrow\frac{1,2}{EB}=\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow EB=1,2:\frac{2}{5}=\frac{1,2.5}{3}=\frac{6}{3}=2\)\(\Rightarrow AE=AB=EB=2\)

\(\Rightarrow\Delta\)BAE đều \(\Rightarrow\widehat{BAE}=60^0\). Mà ^BAE kề bù với ^BAC

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=120^0\).

A B C D M N E

a, xét tứ giác  AMDN có : 

góc BAC = góc DMA = góc AND = 90 (gt)

=> AMDN là hình chữ nhật (dấu hiệu)

b,  AMDN là hình chữ nhật (câu a)

=> AN // DM hay AN // ME     (1)

AMDN là hình chữ nhật => AN = MD (tc)

MD = ME do E đối xứng cới D qua M (gt)

=> AN = ME   và (1)

=> AEMN là hình bình hành (dấu hiệu)

=> AN // ME (đn)

c, AMDN là hình chữ nhật (câu a)

để AMDN là hình vuông

<=> DN = DM (dh)               (2)

có D là trung điểm của BC (gt)

DN // AB do AMDN là hình chữ nhật

=> DN là đường trung bình của tam giác ABC 

=> DN = AB/2 (tc)

tương tự có DM = AC/2      và (2)

<=> AB/2 = AC/2

<=> AB = AC 

 tam giác ABC vuông tại A gt)

<=> tam giác ABC vuông cân tại A

vậy cần thêm đk tam giác ABC vuông để AMDN là hình vuông 

+ vì AMDN là hình vuông

=> MN _|_ AD (tc)

=> S AMDN = NM.AD : 2 (Đl)     

tam giác ABC vuông tại A có AD _|_ BC 

=> S ABC = AD.BC : 2   (đl)      (3)

BC = 2NM do NM là đường trung bình của tam giác ABC   và (3)

=> S ABC =  AD.2MN : 2

=> S ABC = 2S AMDN

Đề bài:

• Tam giác ABC cân tại A
• Các đường cao: AQ, BN, CM cắt nhau tại trực tâm H
• Gọi K là điểm đối xứng của H qua Q
• Các câu hỏi từ a) đến f)

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

• H là trực tâm tam giác ABC.
• AQ là đường cao từ A ⇒ Q thuộc BC, AQ ⊥ BC.
• BN và CM là các đường cao ⇒ H là giao điểm của 3 đường cao.
• K là đối xứng của H qua Q ⇒ Q là trung điểm của đoạn HK.

Ta cần xét tứ giác BHCK.

Chứng minh:

• H, K đối xứng qua Q ⇒ HQ = QK
• AQ ⊥ BC ⇒ Q là chân đường cao từ A, tức AQ ⊥ BC
• H thuộc 3 đường cao ⇒ H nằm trên BN và CM
• Do đó: H ∈ BN và CM, còn K là đối xứng của H qua Q

⇒ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

Xét BHCK:

• H và C cùng nằm trên CM
• B và H cùng nằm trên BN
• K là điểm đối xứng H qua Q (Q ∈ BC)
• Vậy: BH song song với CK (vì đều vuông góc với AC, do tam giác cân tại A ⇒ AC = AB)

⇒ BH ∥ CK và BH = CK (do đối xứng)

Kết luận:
Tứ giác BHCK là hình bình hành
(vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

• Qua K vẽ đường thẳng song song BC ⇒ gọi là đường d₁
• Qua C vẽ đường thẳng song song AK ⇒ gọi là đường d₂
• E là giao điểm của d₁ và d₂.

Chứng minh:

• ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC, các đường cao từ B và C có độ dài bằng nhau, và Q là trung điểm HK (K đối xứng H qua Q)
• AK ⊥ BC (vì AQ ⊥ BC và K đối xứng H qua Q)
• Do d₁ ∥ BC, d₂ ∥ AK ⇒ d₁ ⊥ d₂

Xét hình chữ nhật KECQ:

• KC ∥ QE (do d₁ và d₂)
• KC = QE (do đối xứng qua Q và tính chất hình chữ nhật)
• Góc tại Q là vuông.

Kết luận: KC = QE

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

• P là hình chiếu vuông góc từ K lên HC ⇒ KP ⊥ HC
• E ∈ đường thẳng song song AK
• Q nằm trên AQ ⊥ BC ⇒ AQ ⊥ BC ⇒ QE ⊥ BC ⇒ QE ⊥ AK

Chứng minh:

• ∠QPE là góc giữa QE và đường thẳng đi qua P vuông góc với HC

Do KC = QE và KC ∥ QE ⇒ tứ giác KECQ có tính chất hình bình hành đặc biệt ⇒ kết luận:

• KP ⊥ HC
• QE ⊥ AK (vì song song BC, BC ⊥ AQ)
• Mà AK ⊥ HC ⇒ QE ⊥ HC ⇒ QE ⊥ KP

⇒ ∠QPE = 90°

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

• H, C, E, Q là các điểm đã biết
• H và K đối xứng nhau qua Q ⇒ HQ = QK
• KC = QE (chứng minh trên)
• KC ∥ QE ⇒ ⇒ HC ∥ QE

Chứng minh:

• Tứ giác HCEQ có:
• • HQ = QE (từ đối xứng và chứng minh KC = QE)
  • HC ∥ QE (vì cùng song song với AK)

⇒ Tứ giác HCEQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau

⇒ HCEQ là hình bình hành

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

• QE cắt BN tại I
• BN là đường cao từ B ⇒ đi qua H
• BH là đoạn từ B đến H

Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BH

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ là hình bình hành ⇒ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ Đường chéo HQ và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ Giao điểm là trung điểm của BH (vì H nằm trên BH), QE đi qua đó

⇒ I là trung điểm của BH

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

• Tứ giác HIEC gồm các điểm:
• • H: trực tâm
  • I: trung điểm BH (chứng minh trên)
  • E: từ giao điểm QE và đường song song BC
  • C: đỉnh tam giác

Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ 2 cạnh đối song song và 2 góc kề đáy bằng nhau

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Điều kiện xảy ra:

• ΔABC phải là tam giác đều (vì lúc đó tam giác cân tại A, đồng thời các đường cao là cũng là trung tuyến, phân giác, đường trung trực)
• Khi đó: H là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và trung điểm giao nhau ⇒ tạo nên các tính chất đối xứng mạnh.

Kết luận:
Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ tam giác ABC đều

mong các bạn nhận xét và cho mình một đúng

a) Ta có AM=CN và AB=CD (vì ABCD là hình bình hành), nên ta có thể kết luận rằng AMCN là hình bình hành.

b) Ta cần chứng minh DMBN là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có AB || CD và AD || BC.

Do đó, ta có góc DAB = góc DCB và góc BAD = góc BCD.

Vì AM=CN, nên ta có góc MAB = góc NCD.

Từ đó, ta có góc DMB = góc DAB + góc MAB = góc DCB + góc NCD = góc NCB.

Vì AB || CD, nên góc DMB = góc NCB.

Vì AD || BC, nên góc DMB = góc BDN.

Từ đó, ta có góc DMB = góc NCB = góc BDN.

Vậy DMBN là hình bình hành.

Bạn tích cho mik nha!

Nhớ tick cho mik nha!

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng AM = CN và hai đường thẳng AM và CN là song song.

Vì am < cn, ta có thể kết luận rằng M nằm giữa A và B, và N nằm giữa C và D.

Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AM và CN.

Ta có:
AP = AM - MP
CP = CN - NP

Vì AM = CN và am < cn, nên AM - MP < CN - NP.

Do đó, AP < CP.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng AM và CN là song song.

Vì AM = CN và hai đường thẳng AM và CN là song song, nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng BM = DN và hai đường thẳng BM và DN là song song.

Vì AM = CN và AM < CN, nên M nằm giữa A và B, và N nằm giữa C và D.

Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng BM và DN.

Ta có:
BQ = BM - MQ
DQ = DN - NQ

Vì BM = DN và BM < DN, nên BM - MQ < DN - NQ.

Do đó, BQ < DQ.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng BM và DN là song song.

Vì BM = DN và hai đường thẳng BM và DN là song song, nên tứ giác BMDN là hình bình hành.