Đề sai: Giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>y\\1=x^2< y^2=4\end{matrix}\right.\)

Bài 1: có lẽ là thuộc R

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(A=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\left(x+y\right)^2\right)^2\)

\(=\left(6^2\right)^2=36^2=1296\)

Khi \(x=y=\sqrt{3}\)

Bài 2:

Ta có: 

\(\left(m^2+n^2\right)^2=\left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^4+2m^2n^2+n^4=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4\)  (luôn đúng)

Từ (1) suy ra \(a^2=b^2+c^2\)

Theo định lý py-ta-go đảo thì ta có đpcm

Phân tích thành nhân tử hả bạn?

Nếu thế thì giải như sau:

\(3x^{n-2}.\left(x^{n+2}-y^{n+2}\right)+y^{n+2}.\left(3x^{n-2}-y^{n-2}\right)\\ =3x^{n-2}.x^{n+2}-3x^{n-2}.y^{n+2}+y^{n+2}.3x^{n-2}-y^{n+2}.y^{n-2}\\ =3x^{2n}-3x^{n-2}.y^{n+2}+y^{n+2}.3x^{n-2}-y^{2n}\\ =3x^{2n}-\left(3x^{n-2}.y^{n+2}-y^{n+2}.3x^{n-2}\right)-y^{2n}\\ =3x^{2n}-y^{2n}\\ =\left(3x^n-y^n\right).\left(3x^n+y^n\right)\)

Xong rồi! Chúc bạn học tốt nhé!

Áp dụng bđt cô-si dạng engel:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge\sqrt{x+y}\)

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi x ; y \(\ge0\)( đpcm )

Chúc bạn học tốt!

Ta có : 

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge\sqrt{x+y}\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge0\\\sqrt{x+y}\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge\left(\sqrt{x+y}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+2\sqrt{x}\sqrt{y}+y\ge x+y\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{x}\sqrt{y}\ge0\) ( luôn đúng với mọi \(x,y\ge0\) ) 

Vậy \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge\sqrt{x+y}\) với \(x,y\ge0\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Có : \(y=\frac{3}{10}x\left(1\right)\)

Thay (1) và PT đc \(N=\frac{16x^2-12x^2}{8x^2-\frac{36}{5}x^2}=\frac{4x^2}{\frac{4}{5}x^2}=5\)

cảm ơn cậu!

Em thử nhá, ko chắc đâu. Sai xin bỏ qua cho ạ.

Dễ thấy x, y đều khác 0. Đặt x - y = t khác 0 kết hết x > y suy ra t > 0 và x = t + y. Suy ra 1 =xy = y(t+y) = yt + y² suy ra 2 = 2yt + 2y²

\(VT=\frac{t^2+2ty+2y^2}{t}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}\) với t > 0. Áp dụng BĐT Cô si ta được:

\(VT=t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{2}{t}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(t=\frac{2}{t}\Rightarrow t=\sqrt{2}\text{ và }\left(t+y\right)y=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}+y\right)y=1\)

\(\Leftrightarrow y^2+\sqrt{2}y-1=0\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\text{ hoặc }y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\text{hoặc }x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

Do đó đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left\{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\)