Vì \(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)=x^3-2x^2+3x-6\) có bậc 3

nên đa thức dư khi chia f(x) cho \(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\) sẽ có dạng là \(A\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

Gọi đa thức thương là P(x)

f(x) chia x-2 dư 6 nên f(2)=6

Đa thức thương là P(x), đa thức dư là A(x)

Do đó, ta có: \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

f(2)=6

=>\(\left(2-2\right)\cdot\left(2^2+3\right)\cdot P\left(2\right)+a\cdot2^2+b\cdot2+c=6\)

=>4a+2b+c=6

\(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+3a+bx+c-3a\)

\(=\left(x^2+3\right)\left\lbrack P\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)+a\right\rbrack+bx+c-3a\)

f(x) chia x^2+3 dư 3x+2 nên bx+c-3a=3x+2

=>b=3; c-3a=2

4a+2b+c=6

=>4a+6+c=6

=>4a+c=0

=>c=-4a

c-3a=2

=>-4a-3a=2

=>-7a=2

=>\(a=-\frac27\)

=>\(c=-4\cdot\frac{-2}{7}=\frac87\)

Vậy: Đa thức dư là \(-\frac27x^2+3x-\frac87\)

ta có số chia là x²-4 nên số dư cảu phép chia sẽ có dạng ax+b

=>f_(x)=(x²-4)(-5x)+ax+b

do f_(x) chia x+2 dư 10 =>f_(-2)=10=>b-2a=10     (1)

vì f_(x)chia x-2 dư 22=>f₍₂₎=22=>2a+b=22          (2)

ta lấy (2)-(1) được 2a+b+2a-b=22-10 <=>4a=12 <=>a=3

=>b=16

=>f_(x)=(x²-4)(-5x)+3x+16=-5x³+23x+16

vậy f_(x)=-5x³+23x+16

1: f(-1)=0 

=>1+m-1+3m-2=0 và 

=>4m-2=0

=>m=1/2

2: g(2)=0

=>2^2-4(m+1)-5m+1=0

=>4-5m+1-4m-4=0

=>-9m+1=0

=>m=1/9

4: f(1)=g(2)

=>1-(m-1)+3m-2=4-4(m+1)-5m+1

=>1-m+1+3m-2=4-4m-4-5m+1

=>2m-2=-9m+1

=>11m=3

=>m=3/11

3:

H(-1)=0

=>-2-m-7m+3=0

=>-8m=-1

=>m=1/8

5: g(1)=h(-2)

=>1-2(m+1)-5m+1=-8-2m-7m+3

=>-5m+2-2m-2=-9m-5

=>-7m=-9m-5

=>2m=-5

=>m=-5/2

a) \(f\left(x\right)=x^2-\left(m-1\right)x+3m-2\)

Để đa thức f(x) có nghiệm là -1 khi:

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right).\left(-1\right)+3m-2=0\)

\(\Rightarrow1+m-1+3m-2=0\)

\(\Rightarrow4m=2\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

b) \(g\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x-5m+1\)

Để đa thức g(x) có nghiệm là 2 khi:

\(g\left(2\right)=2^2-2\left(m+1\right).2-5m+1=0\)

\(\Rightarrow4-4\left(m+1\right)-5m+1=0\)

\(\Rightarrow4-4m-1-5m+1=0\)

\(\Rightarrow-9m=-4\Rightarrow m=\dfrac{4}{9}\)

c) \(h\left(x\right)=-2x^2+mx-7m+3\)

Để đa thức h(x) có nghiệm là -1 khi:

\(h\left(-1\right)=-2\left(-1\right)^2+m.\left(-1\right)-7m+3=0\)

\(\Rightarrow-2-m-7m+3=0\)

\(\Rightarrow-8m=-1\Rightarrow m=\dfrac{1}{8}\)

d) -Để \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\) khi và chỉ khi

\(1^2-\left(m-1\right).1+3m-2=2^2-2\left(m+1\right).2-5m+1\)

\(\Rightarrow1-m+1+3m-2=4-4m-4-5m+1\)

\(\Rightarrow11m=1\Rightarrow m=\dfrac{1}{11}\)

-Để \(g\left(1\right)=h\left(-2\right)\) khi và chỉ khi

\(1^2-2\left(m+1\right).1-5m+1=-2\left(-2\right)^2+m.\left(-2\right)-7m+3\)

\(\Rightarrow1-2m-2-5m+1=-8-2m-7m+3\)

\(\Rightarrow2m=-5\Rightarrow m=-\dfrac{5}{2}\)

Do bậc của đa thức chia là 2 nên da thức dư có bậc cao nhất là 1 hay

f(x) = (x² - 5x + 6)(1 - x²) + ax + b

f(x) chia cho x - 2 dư 2 nên áp dụng định lý bê du ta có khi x = 2 thì f(x) = 2

 2a + b = 2

Tương tự chia cho x - 3 dư 7

=> f(3) = 3a + b = 7

=> a = 5, b = - 8

Thế vô là tìm được f(x)