sao lại C^3_2n+1 nhỉ

ta có \(\left(1+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}+...+C^{2n+1}_{2n+1}\)

\(-\left(1-1\right)^{2n+1}=-\left(C_{2n+1}^0-C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}-...-C^{2n+1}_{2n+1}\right)\)

\(\left(1+1\right)^{2n+1}-\left(1-1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}+...+C^{2n+1}_{2n+1}-C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1-C_{2n+1}^2+....+C_{2n+1}^{2n+1}\)

\(2^{2n+1}=2C_{2n+1}^1+2C_{2n+1}^3+2C_{2n+1}^5+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2.1024=2048\)

\(\Rightarrow n=5\)

\(\left(2-3x\right)^{10}\)

SHTQ \(C_{10}^k.2^{10-k}.\left(-3x\right)^k=C_{10}^k.2^{10-k}.-3^k.x^k\)

\(x^7\Rightarrow k=7\)

hệ số cần tìm \(C_{10}^7.2^3.\left(-3\right)^7=-2099520\)

Xét khai triển

\(\left(x+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+...+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^{2n+1}=C^0_{2n+1}+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-2=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{10}-1=2^{2n+1}-2\Rightarrow2^{2n+1}=2^{10}+1\)

Không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán (bạn xem lại đề bài)

Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:

a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)

Số hạng chứa \(x^8\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)

Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)

b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)

Số hạng chứa \(x^5\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)

Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)

1) 216

Ta có (x-2y)⁴ =[x+(-2y)]⁴=C₄^k.x^4-k.(-2y)^k

Hệ số của số hạng có xy³ ứng với : 4-k=1 va k=3 <=> k=3

Vậy hệ số của xy³ là : C_4³.(-2)³=-32

\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)

SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)

\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)

mà k,i\(\in N\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)

mà hệ số \(=?????\)

\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)

bấm máy giải tìm đc n

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left[x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\right]^n=\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

\(\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2n-2k}.\sum\limits^n_{l=0}C_n^l.2^l.x^{n-l}=\sum\limits^n_{k=0}\sum\limits^n_{l=0}C_n^k.C_n^l.2^l.x^{3n-2k-l}\)

\(3n-3=3n-2k-l\Rightarrow2k+l=3\Rightarrow\left(k;l\right)=\left\{\left(0;3\right),\left(1;1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{3n-3}\) là:

\(C_n^0.C_n^3.2^3+C_n^1.C_n^1.2^1=\dfrac{18683.n}{3}\Leftrightarrow\dfrac{n!.8}{\left(n-3\right)!3!}+2n^2=\dfrac{18683.n}{3}\)

\(\Leftrightarrow4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18683n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n^2-18675n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) \(\Rightarrow\) Bạn chép đề sai

Sau khi thử lại, nếu hệ số đã cho không phải \(\dfrac{18683n}{3}\) mà là \(\dfrac{18638n}{3}\) (đổi thứ tự hàng chục và đơn vị ở tử số), thì pt trên trở thành:

\(4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18638n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n-18630n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) hoặc \(n=69\) (nhận), ko cần quan tâm nghiệm ko nguyên.

Kết luận: bạn ghi sai số liệu.