Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân từng vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge81abcd\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)
p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.
Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại
\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BDT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
Hay ta có ĐPCM
Bài 1.
A = 1/(a + 1) + 1/(b + 1) + 1/(c + 1) + 1/(d + 1) ≥ 3
→ 1/(a + 1) ≥ 1 - 1/(b + 1) + 1 - 1/(c + 1) + 1 - 1/(d + 1)
→ 1/(a + 1) ≥ b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1)
áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)]
→ 1/(a + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)] tương tự
1/(b + 1) ≥ 3 ³√(acd)/[(a + 1)(c + 1)(d + 1)]
1/(c + 1) ≥ 3 ³√(abd)/[(a + 1)(b + 1)(d + 1)]
1/(d + 1) ≥ 3 ³√(abc)/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)]
nhân theo vế → 1/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)] ≥ 81abcd/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)]
→ 1 ≥ 81abcd → abcd ≤ 1/81
TK NHA
Áp dụng BDT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)
\(=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Lời giải :
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}+1-\frac{1}{1+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\) ( Cô-si )
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\); \(\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\);
\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BĐT ta được :
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3\left(d+1\right)^3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\cdot\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge81\cdot abcd\)
\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{3}\)
Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án
Từ giả thiết => \(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương : \(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\). Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân từ 4 bđt: \(1\ge81abcd\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
ta đặt \(\frac{a}{1+a}=x;y=\frac{b}{1+b};z=\frac{c}{1+c}\)
theo đề bài x+y+z\(\le1\)
=> \(x\left(1+a\right)=a\Rightarrow x+ax=a\Rightarrow x=a\left(1-x\right)\Rightarrow a=\frac{x}{1-x}\)
tương tự \(b=\frac{y}{1-y};c=\frac{z}{1-z}\)
sử dụng giả thiết \(x+y+z\le1\) và x,y,z\(>0\) ta có:
\(1-x\ge y+z\)
\(1-y\ge x+z\)
\(1-z\ge x+y\)
áp dụng cauchy 2 số ta có:
\(1-x\ge y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(1-y\ge x+z\ge2\sqrt{xz}\)
\(1-z\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\)
nhân vế cả ba đẳng thức trên vì các vế đều dương
\(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{xz}\cdot2\sqrt{xy}\)
\(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
chia cả hai vế cho 8(1-x)(1-y)(1-z) ta có:
\(\frac{xyz}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\le\frac18\)
thay a=\(\frac{x}{1-x};b=\frac{y}{1-y};c=\frac{z}{1-z}\)
=> \(abc\le\frac18\)
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))