cau a , xet phuong trinh 1 la 8(x+y) =x^2 +2y^2 + 3xy

ta co , 8(x+y) = x^2 +2xy+y^2 +y^2+xy

    8(x+y)= (x+y)^2+y(x+y)

 (x+y)((x+y)+y-8)=0  xét (x+y)=0 và (x+2y-8)=0 . xét từng trường hợp rồi thế vào phương trình 2 rồi tự giải lột nhe

cau 2 de kho hieu the , viet lai xem nao sao 2 phong trinh ma bang mot bieu thuc thoi ak

Hệ phương trình đã cho là:

1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để các căn thức có nghĩa, ta cần:

Vậy, ĐKXĐ là: $-1 \le x \le 1$.

2. Biến đổi phương trình (1)

Chuyển các số hạng chứa $\sqrt{1-x}$ về một vế và các số hạng còn lại về vế kia:

Nếu đặt $z = \sqrt{1-x}$, ta có $z \ge 0$ và $z^2 = 1-x$, hay $x = 1 - z^2$.

Thay $x$ vào biểu thức $1 - 2x$:

Thay lại vào phương trình (1) đã biến đổi:

Xét hàm số $f(t) = 2t^3 + t$. Ta có $f'(t) = 6t^2 + 1 > 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.

$\implies f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó, từ $f(y) = f(-z)$, suy ra $y = -z$.

Thay $z = \sqrt{1-x}$ trở lại, ta được mối liên hệ:

3. Thay thế vào phương trình (2)

Thay $(*)$ vào phương trình $(2)$:

Sử dụng công thức $\sqrt{1-x}\sqrt{1+x} = \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^2}$ (do $-1 \le x \le 1$):

Lưu ý rằng $\sqrt{1-x} \ge 0$, và $y = -\sqrt{1-x} \le 0$, tức là $y$ không dương.

Xét vế trái của $(2)$: $2x^2 + 2xy\sqrt{1+x}$.

Từ $(*)$, ta có $y^2 = 1 - x$, hay $x = 1 - y^2$.

Thay $x = 1 - y^2$ vào $(2)$:

Đây là một phương trình rất phức tạp. Ta nên biến đổi phương trình $(2)$ một cách khác.

Quay lại phương trình:

Ta nhận thấy vế trái có dạng bình phương thiếu. Nhân 2 vế với 2:

Đây không phải là một hướng đi đơn giản. Ta nên thử phương pháp lượng giác do kết quả có dạng lượng giác.

4. Phương pháp lượng giác

Đặt $x = \cos t$, với $t \in [0, \pi]$ (vì $-1 \le x \le 1$).

Từ $(*)$, ta có $y = -\sqrt{1-x}$.

Vì $t \in [0, \pi] \implies \frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$.

Nên $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$.

Thay $x = \cos t$ và $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$ vào phương trình $(2)$:

Sử dụng công thức: $\sqrt{1 + \cos t} = \sqrt{2\cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ (vì $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$).

Sử dụng công thức $\sin t = 2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:

Sử dụng công thức $\cos(2t) = 2\cos^2 t - 1$, hay $2\cos^2 t = 1 + \cos(2t)$:

Sử dụng công thức $a\cos \alpha + b\sin \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\alpha - \phi)$:

Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:

Sử dụng công thức $-\sin \alpha = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$:

Phương trình có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Do $t \in [0, \pi]$, ta thay $k = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$ (nhận)

Nếu $k = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} > \pi$ (loại).

Với $t = \frac{\pi}{6}$:

Giá trị này không khớp với đáp án $\left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$. Trường hợp này bị loại.

Trường hợp 2:

Do $t \in [0, \pi]$, ta thử các giá trị $k$:

• $k = 0$: $t = -\frac{3\pi}{10}$ (loại)
• $k = 1$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{-3\pi + 8\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (nhận)
• $k = 2$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{8\pi}{5} = \frac{-3\pi + 16\pi}{10} = \frac{13\pi}{10} > \pi$ (loại)

Với $t = \frac{\pi}{2}$:

Kiểm tra nghiệm $(x; y) = (0; -1)$ vào hệ ban đầu:

Trường hợp này cũng bị loại.

5. Xem xét lại đáp án gợi ý

Đáp án gợi ý là: $(x; y) = \left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$.

Nếu đây là nghiệm, ta phải có $y = -\sqrt{1-x}$.

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{1 - \cos \frac{3\pi}{10}}$

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2\sin^2 \frac{3\pi}{20}}$

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}$ (vì $\frac{3\pi}{20} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \frac{3\pi}{20} > 0$)

$\iff 2\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = 0 \quad \text{(Vô lí vì } \sin...

\(\begin{cases}\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=8-x^3\left(1\right)\\\left(x-1\right)^4=y\left(2\right)\end{cases}\)

Đk: \(x\ge1;y\ge0\)

Thay (2) vào (1) ta đc:

\(\sqrt{x-1}-\left(x-1\right)^2=-x^3+8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1=-x^3+x^2-2x+8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\cdot\frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+1}=\left(-x^3+2x^2\right)-\left(x^2-2x\right)-\left(4x-8\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{-x^2-x-4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-2=0\\\sqrt{x-1}+1=-x^2-x-4\left(3\right)\end{array}\right.\) 

(3) vô nghiệm do \(VT>0;VP< 0\) với mọi x

\(\Leftrightarrow x=2\left(tm\left(x\ge1\right)\right)\Rightarrow y=1\)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm x = 2; y = 1 

cảm ơn bn nhìu nhé....

trong cac phan so sau :2/3 ;2/8 ;17/300 ;1/30.phan so thap phan la phan so 

A! anh em lớp 12 đấy khi nào em lên Hoà Bình đã

Điều kiện x>1

Từ (1) ta có  \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3

Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)

Tìm điều kiện của t :

- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)

- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)

Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3

- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)

 \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)

Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)

Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)

Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)

- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)

- Bảng biến thiên :

Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{x}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)}{\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=-2\)

\(\left(3\right)\Rightarrow\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)=\sqrt{x}=\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=y\sqrt{x+1}\Rightarrow y^2+1=xy^2+y^2\Leftrightarrow xy^2=1\left(4\right)\)

Với y=0 hệ vô nghiệm

Với y khác 0 thay (4) vào pt 1 được \(\left(\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}-1\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{\frac{1}{y^2}}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}-\left|y\right|\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=1\left(5\right)\)

Với y<0 thì (5): \(\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=1\) vô nghiệm

Ta thấy (5) đúng với mọi y

Thay (4) vào pt (2) suy ra \(y^7+2y^6+y^5-2y^2-2=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y^6+3y^5+4y^4+4y^3+4y^2+4y+2\right)=0\)

Phương trình này có nghiệm duy nhất là y=1 trên (0,dương VC)=>x=1

Vậy hệ có hai nghiệm là (1,1) và (0,-2)

Ta có \(x-\sqrt{x^2+4}\ne0\) và \(y-\sqrt{y^2+1}\ne0\)

Nhân 2 vế của pt đầu cho \(x-\sqrt{x^2+4}\) ta được:

\(x-\sqrt{x^2+4}=-2\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\) (1)

Nhân 2 vế của pt đầu cho \(y-\sqrt{y^2+1}\) ta được:

\(x+\sqrt{x^2+4}=-2\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: \(2x=-4y\Rightarrow x=-2y\)

Biến đổi pt dưới 1 chút:

\(3\left(-2y\right)^2+5\left(-2y\right)+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+2\left(x+1\right)=x^3+1+2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+2\left(x+1\right)=\left(\sqrt[3]{x^3+1}\right)^3+2\sqrt[3]{x^3+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^3+2t\), ta có \(f'\left(t\right)=3t^2+2>0\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow x+1=\sqrt[3]{x^3+1}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=x^3+1\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=x^3+1\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=0\\x=-1\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

thank you