Nếu a = 1 ; b = 0,5 => a + b = 1,5 < 2 => sai

Trẻ con giờ ghê thật chưa gì đã dồn biến, khử lũy thừa rồi, có khi mình tiến hóa ko kịp mất xd

\(S=ab^2+bc^2+ca^2-abc\)

WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\) khi đó \(S\le a^2b+bc^2+abc-abc=b\left(1-b^2\right)\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2b^2+1-b^2+1-b^2}{3}\right)^3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\)

Sau khi đã có kq \(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)rồi ai có đam mê biến đổi có thể cm bdt sau, làm thành bổ đề về sau dùng \(\left(ab^2+bc^2+ca^2-abc\right)^2\le\frac{4}{27}\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

WLOG \(a=min\left\{a,b,c\right\},b=a+u,c=a+v\) khi đó bdt cần cm tương đương 

\(-\left(v^2-2u^2\right)^2\left(u^2+4v^2\right)-.....\le0\) 

ngại viết quá nhưng đại ý là nó sẽ bé hơn hoặc bằng 0 sau đó lấy căn 2 vế ta cũng dc GTLN tương ứng 

đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\) (a,b,c>0) 

bài toán trở thành: cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm max \(S=ab^2+bc^2+ca^2-abc\) ez :DDDD 

ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{1+3x^2}}=\frac{2}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}-1+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+1-\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1-\sqrt{3x^2+1}}{\sqrt{3x^2+1}}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+1-x^2-3}{\sqrt{x^2+3}\left(x+1+\sqrt{x^2+3}\right)}+\frac{x^2+2x+1-3x^2-1}{\sqrt{3x^2+1}\left(x+1+\sqrt{3x^2+1}\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2+3}\left(x+1+\sqrt{x^2+3}\right)}+\frac{-2x\left(x-1\right)}{\sqrt{3x^2+1}\left(x+1+\sqrt{3x^2+1}\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+3}\left(x+1+\sqrt{x^2+3}\right)}-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+3}\left(\frac{1}{x}+1+\sqrt{\frac{1}{x^2}+3}\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\\sqrt{x^2+3}\left(x+1+\sqrt{x^2+3}\right)=\sqrt{\frac{1}{x^2}+3}\left(\frac{1}{x}+1+\sqrt{\frac{1}{x^2}+3}\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2=\frac{1}{x^2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tmđkxđ\right)\\x=-1\left(ktmđkxđ\right)\end{cases}\Rightarrow}x=1}\)
Vậy nghiệm của pt trên là x=1

Xét tử:
\(2\sqrt{1-3x}+\sqrt[3]{x+9}-2=2\left(\sqrt{1-3x}+\frac{3x-5}{4}\right)+\left(\sqrt[3]{x+9}-\frac{-3x+1}{2}\right)\)
\(=2.\frac{1-3x-\frac{9x+25-30x}{16}}{\sqrt{1-3x}-\frac{3x-5}{4}}+\frac{x+9-\left(\frac{-3x+1}{2}\right)^3}{\sqrt[3]{\left(x+9\right)^2}+\sqrt[3]{x+9}.\frac{-3x+1}{2}+\left(\frac{-3x+1}{2}\right)^2}\)
\(=\frac{-18\left(x+1\right)^2}{\sqrt{1-3x}-\frac{3x-5}{4}}+\frac{\frac{\left(x+1\right)\left(27x^2-54x+71\right)}{8}}{\sqrt[3]{\left(x+9\right)^2}+\sqrt[3]{x+9}.\frac{-3x+1}{2}+\left(\frac{-3x+1}{2}\right)^2}\)
Xét mẫu : x²-2x-3=(x+1)(x-3)
\(\Rightarrow A=\frac{\frac{-18\left(x+1\right)}{\sqrt{1-3x}-\frac{3x-5}{4}}+\frac{\frac{27x^2-54x+71}{8}}{\sqrt[3]{\left(x+9\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+9\right)}.\frac{-3x+1}{2}+\left(\frac{-3x+1}{2}\right)^2}}{x-3}\)
\(lim_{x\rightarrow-1}A=\frac{19}{48}\)
Gõ nhờ tý nhé, ko phải đáp án đâu
 

Mình nghĩ đề bài phải là tìm giá trị lớn nhất. Vì giả sử : \(P\left(x\right)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) , ta cần tìm x sao cho P(x) = 0. Không thể vì P(x) vô nghiệm.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT : 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(P^2=\left(1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le4\Rightarrow P\le2\) . Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}2\le x\le4\\\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy Max P = 2 <=> x = 3

\(x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)(ĐK :\(x\ge1\))

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-\frac{1}{x}-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+1-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)-2\sqrt{x^2-x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-x}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-x}=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)(nhận) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)(loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Về hướng giải bài bằng bất đẳng thức Cosi mình chưa nghĩa ra :))

Giả sử pt: \(x^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn đề bài.

Theo hệ thức Vi - ét ta có: \(x_1+x_2=-b\) và \(x_1x_2=c\)

Kết hợp với giải thiết ta có: \(x_1=x^2_2+x_2\) và \(b+c=4\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x^3_2-2x_2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-2\right)\left(x^2_2+2x_2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_2=2\)(Vì: \(x^2_2+2x_2+2=\left(x_2+1\right)^2+1>0\))

Khi đó ta có: \(x_1=4+2=6\Rightarrow b=-8\)và \(c=12\)

Thử lại với \(b=-8;c=12\)ta được pt sau:

\(x^2-8x+12=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=6;x_2=2\)(Thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Vậy \(\left(b,c\right)=\left(-8;12\right)\) là cặp cần tìm.