a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

=>AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

AM=AD

=>AMND là hình thoi

b: AMND là hình thoi

=>I là trung điểm chung của AN và MD và AN vuông góc MD tại N

Xét tứ giác MBCN có

MB//CN

MB=CN

MB=BC

=>MBCN là hình thoi

=>MC vuông góc BN tại K và K là trung điểm chung của MC và BN

Xét ΔMDC có

MN là trung tuyến

MN=DC/2

=>ΔMDC vuông tại M

Xét tứ giác MINK có

góc MIN=góc MKN=góc IMK=90 độ

=>MINK là hình chữ nhật

c: Xét ΔMDC có MI/MD=MK/MC

nên IK//DC

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC

Xét ΔADN và ΔCBM có

AD=CB

\(\hat{ADN}=\hat{CBM}\)

DN=BM

Do đó: ΔADN=ΔCBM

=>AN=CM

b: Xét tứ giác AMCN có

AM=CN

AN=CM

Do đó: AMCN là hình bình hành

c: Sửa đề: AN//CM

AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó; BMDN là hình bình hành

c: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác QMKN có

QM//KN

QN//KM

Do đó: QMKN là hình bình hành

=>QK cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,BD,QK,MN đồng quy

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

c: Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

Ta có: BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác MQNK có

MQ//NK

MK//NQ

Do đó: MQNK là hình bình hành

=>MN cắt QK tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,MN,BD,QK đồng quy

Cho hình chữ nhật \(A B C D\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(N\) là trung điểm của \(C D\).

a) Chứng minh \(A M N D\) và \(B M N C\) là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(A M N D\):

• \(A M \parallel D N\) (cùng song song với \(A B\)).
• \(A D \parallel M N\) (cùng song song với \(A D\)).
• Hai cạnh kề \(A M\) và \(A D\) vuông góc.

Vậy \(A M N D\) là hình chữ nhật.

Tương tự, với tứ giác \(B M N C\):

• \(B M \parallel C N\).
• \(B C \parallel M N\).
• Hai cạnh kề \(B M\) và \(B C\) vuông góc.

Vậy \(B M N C\) cũng là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(A M C N\) và \(B M D N\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A M C N\):

• \(A M \parallel C N\) và \(A M = C N\).
• \(A N \parallel M C\) và \(A N = M C\).

Do có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên \(A M C N\) là hình bình hành.

Tương tự, trong tứ giác \(B M D N\):

• \(B M \parallel D N\) và \(B M = D N\).
• \(B N \parallel M D\) và \(B N = M D\).

Suy ra \(B M D N\) cũng là hình bình hành.

c) Gọi \(Q , K\) lần lượt là giao điểm của \(A N\) và \(D M\); \(B N\) và \(C M\). Chứng minh \(A C , D B , Q K , M N\) đồng quy.

• Giao điểm \(Q = A N \cap D M\) và \(K = B N \cap C M\) đều nằm trên đường thẳng song song với \(A B\) (qua trung điểm cạnh bên), do đó \(Q K\) là đường thẳng song song với \(A B\).
• Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) của hình chữ nhật cắt nhau tại \(O\) — chính là tâm hình chữ nhật.
• \(M N\) nối trung điểm \(A B\) và \(C D\), đi qua tâm \(O\).
• Đường \(Q K\) cũng đi qua \(O\).

Vậy bốn đường thẳng \(A C , B D , M N , Q K\) đồng quy tại \(O\).

a)Ta có O giao điểm AC và BD trong hình bình hành ABCD (gt)

=> O là trung điểm AC và BD.

=> OD=OB

Mà OM=MD=\(\frac{1}{2}\)OD; ON=BN=\(\frac{1}{2}\)OB => OM=ON=OD=OB.

Xét hình bình hành ABCD có O trung điểm AC (hbh ABCD) và O trung điểm MN (OM=ON)

=> đpcm (điều phải chứng minh)

b) C/m tam giác ACE=ACF (cgc)(AC chung; \(\angle EAC=\angle FCA\) do song song; và cũng như vây với \(\angle ECA=\angle CAF\))

=>AE=FC mà \(AE \parallel FC\) do ăn theo hbh AMCN => đpcm