Dựa vào tính chất đường phân giác trong tam giác với tam giác ABC có AD là phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) , ta được: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\).

Trong tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên D ∈ AB; E ∈ AC và AD = BD; AE = EC.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\) suy ra BC = 2DE = 2 . 500 = 1 000 (m)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C bằng 1 000 m.

Vì ABCD là hình bình hành nên: \(\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C = {100^o}\\\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\\{100^o} + \widehat B + {100^o} + \widehat B = {360^o}\\2\widehat B + {200^o} = {360^o}\end{array}\)

Suy ra: \(2\widehat B = {360^o} - {200^o} = {160^o}\)

Do đó: \(\widehat B = {80^o}\) suy ra: \(\widehat B = \widehat D = {80^o}\)

Vậy các góc của hình bình hành ABCD là: \(\widehat A = {100^o};\widehat C = {100^o};\widehat B = {80^o};\widehat D = {80^o}\)

a)

Xét tam giác ABC có MN//BC

`=>(AM)/MB=(AN)/(NC)` (định lí thales)

`=>(6,5)/x=4/2`

`=>x=3,25`

b)

có QH⊥PH (hình vẽ)

FE⊥PH (hình vẽ)

Suy ra EF//HQ (từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác PHQ có EF//HQ (cmt)

`=>(PE)/(PH)=(PF)/(PQ)` (định lí thales)

`=>4/x=5/(5+3,5)`

`=>4/x=5/(8,5)`

`=>x=6,8`

a. Do H, K lần lượt là trung điểm cạnh DF, EF 

⇒ HK là đường trung bình của tam giác DEF.

⇒ DE = 2 HK = 2 \(\times\) 3 = 6.

b. Do M là trung điểm cạnh AB mà MN // AC (cùng vuông góc với AB)

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ N là trung điểm của cạnh BC

⇒ y = NB = NC = 5.

* Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:

• \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{D}}B} = {40^o}\)

• \(\widehat A + \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} = {180^o}\)

Suy ra \(\widehat A\)=180°−\(\widehat {AB{\rm{D}}}\)−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=180°−40°−40°=100°

Ta có \(\widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {B{\rm{D}}C}\)=120° suy ra \(\widehat {B{\rm{D}}C}\)=120°−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=120°−40°=80°.

* Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) ta có:

• \(\widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}B}\)=80°

• \(\widehat C + \widehat {CB{\rm{D}}} + \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°

Suy ra \(\widehat C\)=180°−\(\widehat {CB{\rm{D}}} - \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°−80°−80°=20°

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CB{\rm{D}}}\)=40°+80°=120^o

Vậy số đo các góc của tứ giác ABCD là \(\widehat A = {100^o};\widehat {ABC} = {120^o};\widehat C = {20^o}\)

Diện tích hình vuông ABCD là: \({\left( {a + b} \right)^2}\)

Diện tích hình vuông ABCD là: \({S_{ABCD}} = {S_P} + {S_Q} + {S_R} + {S_S} = {a^2} + ab + ab + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Do đó \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\).

Xét tứ giác ABCD có:

\(\begin{array}{l} \widehat A  + \widehat  B + \widehat C  + \widehat  D  = {360^0}\\{85^0} + x + {65^0} + {75^0} = {360^0}\\x = {360^0} - {85^0} - {65^0} - {75^0} = {135^0}\end{array}\)