Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v
Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).
Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)
Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1
2.
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
Câu cuối:
Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng:
\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)
`4)(2x^3+3x)/(7-2x)>\sqrt{2-x}(x<=2)`
`<=>(2x^3+3x^2)/(7-2x)-1>\sqrt{2-x}-1`
`<=>(2x^3+3x^2+2x-7)/(7-2x)-((\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1))/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>(2x^3-2x^2+5x^2-5x+7x-7)/(7-2x)-(1-x)/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>((x-1)(2x^2+5x+7))/(7-2x)+(x-1)/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>(x-1)((2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1))>0`
`<=>x>1` do `x<=2=>7-2x>0,2x^2+5x+7>0 AA x,\sqrt{2-x}>0,1>0`
`=>(2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`=>1<x<=2`
Câu 1:
$\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-4=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\\\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}686x^2-1028y^2-174x+294y-196=0\\525x^2+420y^2+615x-1830y+840\\\end{cases}$
Lấy pt đầu trừ pt dưới
`<=>161x^2+483y-1127-483xy-1449y+3381+218x+654y-1519=0`
`<=>161x(x+3y-7)-483y(x+3y-7)+218(x+3y-7)=0`
`<=>(x+3y-7)(161x-483y+218)=0`
Đến đây chia 2 th ta được `(x,y)=(-2,3),(1,2)`
C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v
Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).
Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)
Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1
C108 :
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(xy\left(x^2+y^2\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left[2xy.\left(x^2+y^2\right)\right]\le\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)^4}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Bạn đúng là 1 người tốt bụng , quan tâm tới bạn bè , chắc chắn mọi điều tốt sẽ đến vs bạn
Mặc dù mk ko bt bạn Hạ Thì là aiNNhưng mk chúc mừng sinh nhật bạn ấy
Bài 129:
ĐKXĐ: \(x^2-y+1\ge0\)\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-2x+y^2+y-4xy=0\left(1\right)\\x^2-x+y=\left(y-x+3\right)\sqrt{x^2-y+1}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) \(\Rightarrow\left(2x-y\right)^2-\left(2x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(2x-y-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=2x-1\end{matrix}\right.\)
Nếu y=2x Thay vào (2) ta được:
\(\Rightarrow x^2-x+2x=\left(2x-x+3\right)\sqrt{x^2-2x+1}\Leftrightarrow x^2+x=\left(x+3\right)\left|x-1\right|\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=\left(x+3\right)\left(1-x\right)\left(x< 1\right)\left(3\right)\\x^2+x=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x\ge1\right)\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (3) \(\Rightarrow x^2+x=x-x^2+3-3x\Leftrightarrow2x^2+3x-3=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\cdot\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16}-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{33}{16}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}\left(L\right)\\x=\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y=\) \(2\cdot\left(\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\)
Từ (4) \(\Rightarrow x^2+x=x^2-x+3x-3\Leftrightarrow-x=-3\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)\(\Rightarrow y=6\)
Nếu y=2x+1 Thay vào (2) ta được:
\(\Rightarrow x^2-x+2x+1=\left(2x+1-x+3\right)\sqrt{x^2-2x-1+1}\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}\left(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le0\end{matrix}\right.;x\ge-4\right)\)
\(\Rightarrow x^2+x+1-\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow2x^2+2x+2-2x\sqrt{x^2-2x}-4\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow x^2-2x+x^2+4-2x\sqrt{x^2-2x}+4x-4\sqrt{x^2-2x}=2\Leftrightarrow\left(-\sqrt{x^2-2x}+x+2\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{x^2-2x}+x+2=\sqrt{2}\left(5\right)\\-\sqrt{x^2-2x}+x+2=-\sqrt{2}\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (5) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2-\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2-\sqrt{2}\right)^2-2x\left(2-\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2-\sqrt{2}-2\right)=4+2-4\sqrt{2}\Leftrightarrow-2\sqrt{2}x=6-4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\) \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=-3\sqrt{2}+5\)
Từ (6) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2+\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2+\sqrt{2}\right)^2+2x\left(2+\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2+\sqrt{2}-2\right)=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow2\sqrt{2}x=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\)
\(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=3\sqrt{2}+5\)
Vậy...
Mik sorry mik làm nhầm
Nếu y=2x-1 Thay vào(2) ta được:
\(\Rightarrow x^2-x+2x-1=\left(2x-1+x+3\right)\sqrt{x^2-2x-1+1}\Leftrightarrow x^2+x-1=\left(x+2\right)\sqrt{x^2-2x}\left(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le0\end{matrix}\right.\right)\) \(\Leftrightarrow2x^2+2x-2-2x\sqrt{x^2-2x}-4\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow x^2-2x+x^2+4-2x\sqrt{x^2-2x}-4\sqrt{x^2-2x}+4x=6\Leftrightarrow\left(-\sqrt{x^2-2x}+x+2\right)^2=6\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{x^2-2x}+x+2=\sqrt{6}\left(5\right)\\-\sqrt{x^2-2x}+x+2=-\sqrt{6}\left(6\right)\end{matrix}\right.\) Từ (5) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2-\sqrt{6}\Rightarrow x^2-2x=x^2+2x\left(2-\sqrt{6}\right)+\left(2-\sqrt{6}\right)^2\Leftrightarrow2x\left(2-\sqrt{6}-2\right)=10-4\sqrt{6}\Leftrightarrow x=-\dfrac{5\sqrt{6}}{6}+2\left(TM\right)\) \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{-5\sqrt{6}}{6}+2\right)-1=-\dfrac{5\sqrt{6}}{3}+3\)
Từ (6) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2+\sqrt{6}\Rightarrow x^2+2x=x^2+2x\left(2+\sqrt{6}\right)+\left(2+\sqrt{6}\right)^2\Leftrightarrow2x\left(2+\sqrt{6}-2\right)=10+4\sqrt{6}\Leftrightarrow x=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}+2\left(TM\right)\) \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{5\sqrt{6}}{6}+2\right)-1=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}+3\) Vậy...
Bài II:
1) \(PT\Leftrightarrow3x^2+2y^2+z^2+4xy+2yz+2zx=26\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y\right)^2+x^2=26\).
Tách \(26=0^2+1^2+5^2=1^2+3^2+4^2\).
Mặt khác ta có x + y + z > x + y > x > 0 nên ta phải có x = 1; x + y = 3; x + y + z = 4.
Từ đó x = 1; y = 2; z = 1.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x, y, z) = (1; 2; 1).
Bài I :
1 ĐKXĐ \(x\ge\dfrac{-1}{8}\)
\(\Leftrightarrow9x+17-6\sqrt{8x+1}-4\sqrt{x+3}=0\)
\(\Leftrightarrow8x+1-6\sqrt{8x+1}+9+x+3-4\sqrt{x+3}+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{8x+1}-3\right)^2+\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{8x+1}-3=0\\\sqrt{x+3}-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{8x+1}=3\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x+1=9\\x+3=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x=8\\x=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)
Vậy...
Bài I
2 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-xy-2y^2-2y=0\left(1\right)\\x^2+y^2=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) \(\Rightarrow x^2-xy-2y^2+x-2y=0\) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-2y\right)+\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(x+y+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2y=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=-y-1\end{matrix}\right.\)
Nếu x=2y Thay vào (2) ta được: \(\Rightarrow4y^2+y^2=1\Leftrightarrow5y^2=1\Leftrightarrow y^2=\dfrac{1}{5}\Rightarrow y=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) \(\Rightarrow x=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Nếu x=-y-1 Thay vào (2) ta được: \(\Rightarrow\left(-y-1\right)^2+y^2=1\Leftrightarrow y^2+2y+y^2+1=1\Leftrightarrow2y\left(y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\end{matrix}\right.\) Vậy...
Bài II
2 :
a: \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=8z^2+5\) Vì số chính phương chia 8 có dư là 0;1;4
\(\Rightarrow\) số dư khi chia cho 8 của \(x^2\), \(y^2\) , \(z^2\) là 1 trong các số 0,1,4
\(\Rightarrow\) số dư của \(x^2+y^2+z^2\) khi chia cho 8 là 1 trong các số 0;1;2;3;4;6
\(\Rightarrow VT\) chia 8 sẽ dư là 1 trong các số 0;1;2;3;4;6
Mà VP chia 8 dư 5 Vô lí \(\Rightarrow\) không có x,y,z
Vậy....
Bài II
2 b \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3-a-b-c-d=720001\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)+\left(c-1\right)c\left(c+1\right)+\left(d-1\right)d\left(d+1\right)=720001\)
Ta thấy (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\) (1)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮3\)(2), \(\left(c-1\right)c\left(c+1\right)⋮3\)(3), \(\left(d-1\right)d\left(d+1\right)⋮3\)(4)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) và (4) ta được : \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)+\left(c-1\right)c\left(c+1\right)+\left(d-1\right)d\left(d+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow VT⋮3\)
Mà vế phải chia 3 dư 1 Vô lí \(\Rightarrow\) ko có a,b,c,d
Vậy....
Bài III
a \(\Rightarrow\)P=\(x+y^2+z^3+1+2-3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si với x,y,z>0:
\(y^2+1\ge2y\) ; \(z^3+1+1\ge3z\) \(\Rightarrow x+y^2+1+z^3+1+1\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow x+y^2+1+z^3+1+1-3\ge x+2y+3z-3\) \(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
đây là đề thi chuyên phải không ạ?
đúng rồi á bạn
Lưu ý các bạn trích dẫn rõ nguồn khi lấy câu hỏi và sử dụng nhé!
mình in đề làm được ko ạ ?
chính xác ông :)
được nhé bạn!
bạn ơi câu 2 bài 1 mik có thể đổi thành +2y2 được không
Bài I:
a) \(9x+17=6\sqrt{8x+1}+4\sqrt{x+3}\) ĐKXĐ: x>=\(\dfrac{-1}{8}\)
\(< =>9x+17-6\sqrt{8x+1}-4\sqrt{x+3}=0\\ < =>\left(8x+1-2\sqrt{8x+1}.3+9\right)+\left(x+3-2\sqrt{x+3}.2+4\right)=0\\ < =>\left(\sqrt{8x+1}-3\right)^2+\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2=0\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{8x+1}=3\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}8x+1=9\\x+3=4\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=1\end{matrix}\right.< =>x=1}}}\)
em nghĩ anh nên chèn nguồn lun vào ảnh (kiểu ở dưới dạng chìm ý ạ)
Mình làm thêm bài II phần 2 b ở bình luận của mik nữa nhé
Và cả bài 1 phần 2
Cảm ơn bạn đã giải nhé, đúng hết rồi đó :)
Ok nhé
Đề đúng rồi nên không đổi được bạn nhé
Mik hôm qua hơi vội nên bây giờ mới làm nốt câu III ý 2
Ta có \(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{6}{\sqrt[6]{xy^2z^3}}\)(Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 6 số dương x,2y,3z) \(\Rightarrow6\ge\dfrac{6}{\sqrt[6]{xy^2z^3}}\) \(\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{\sqrt[6]{xy^2z^3}}\) \(\Rightarrow\sqrt[6]{xy^2z^3}\ge1\) (*)
Từ chứng minh ở phần 1 ta có \(P\ge x+2y+3z-3=\left(x+y+y+z+z+z\right)-3\ge6\sqrt[6]{xy^2z^3}-3\ge6-3=3\) (do *)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Vậy...