Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
$20092009^{10}=(2009.10000+2009)^{10}=(2009.10001)^{10}$
$> (2009.2009)^{10}=(2009^2)^{10}=2009^{20}$
Vậy $20092009^{10}> 2009^{20}$
Bài 2: Để bài yêu cầu tính tỷ số nên mình nghĩ bạn đang viết đề thì phải?
Bài 3: Để bài cần bổ sung thêm điều kiện $x,y$ tự nhiên/ nguyên/..... chứ nếu $x,y$ là số thực thì có vô số giá trị bạn nhé.
Bài 4:
Vì $x_1,x_2,...,x_n$ nhận giá trị $-1$ hoặc $1$ nên $x_1x_2,x_2x_3,...,x_nx_1$ cũng nhận giá trị $-1,1$
Xét $n$ số hạng $x_1x_2,x_2x_3,...,x_nx_1$. Vì $n$ số hạng này có tổng bằng $0$ nên trong đây số số có giá trị $1$ phải bằng số số có giá trị $-1$ ($=\frac{n}{2}$)
$\Rightarrow n\vdots 2$. Ta có:
$x_1x_2.x_2x_3.x_3.x_4....x_1x_n=(x_1x_2...x_n)^2=(-1)^{\frac{n}{2}}.1^{\frac{n}{2}}=(-1)^{\frac{n}{2}}$
Nếu $\frac{n}{2}$ lẻ thì $(x_1x_2..x_n)^2=-1< 0$ (vô lý). Do đó $\frac{n}{2}$ chẵn.
Hay $n\vdots 4$
Bài 1:
\(2009^{20}=\left(2009^2\right)^{10}=\left(2009.2009\right)^{10}\)
\(2009.2009^{10}=\left(10001.2009\right)^{10}\)
Ta thấy:
\(2009< 10001\Rightarrow2009.2009< 1001.2009\)
\(\Rightarrow\left(2009.2009\right)^{10}< \left(10001.2009\right)^{10}\)
\(\Rightarrow2009^{20}< 20092009^{10}\)
Bài 3:
a) Vì \(x,y\in Z\Rightarrow25-y^2⋮8\Rightarrow25-y^2=\left\{0;8;16;24\right\}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\pm5\Rightarrow x=0\\y=\sqrt{17}\left(lo\text{ại}\right)\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}y=\pm3\Rightarrow x=2011\\y=\pm1\Rightarrow x=2012\end{cases}}\)
b) \(x^3y=xy^3+1997\)
\(\Leftrightarrow x^3y-xy^3=1997\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-y^2\right)=1997\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)=1997\)
Ta có: 1997 là số nguyên tố; xy(x+y)(x-y) là hợp số
\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\varnothing\)
c) \(x+y+9=xy-7\)
\(\Rightarrow x+y+16=xy\Rightarrow x+16=xy-y=y\left(x-1\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{x+16}{x-1}\left(x\ne1\right)\)
Mà do y thuộc Z\(\Rightarrow\frac{x+16}{x-1}\in Z\Rightarrow x+16⋮x-1\Rightarrow\left(x-1\right)+17⋮x-1\Rightarrow x-1\in\text{Ư}\left(17\right)=\left\{\pm1;\pm17\right\}\)
\(x\in\left\{0;2;-16;18\right\}\)(Thỏa mãn do khác 1)
+) Nếu \(x=0\Rightarrow16+y=0\Rightarrow y=-16\)
+) Nếu \(x=2\Rightarrow18+y=2y\Rightarrow y=18\)
+) Nếu \(x=-16\Rightarrow y=-16y\Rightarrow y=0\)
+) Nếu \(x=18\Rightarrow y=2\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0,-16\right);\left(2;18\right);\left(-16;0\right);\left(18;2\right)\)
Bài 4:
n số \(x_1,x_2,x_3,....,x_n\)mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1
\(\Rightarrow\)n tích \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1\)mỗi tích bằng 1 hoặc -1
Mà: \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1=0\)
=> Số tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 và bằng \(\frac{n}{2}\)
\(\Rightarrow n⋮2\)(n chẵn)
Xét \(A=\left(x_1.x_2\right).\left(x_2.x_3\right)....\left(x_n.x_1\right)\)
=> x12.x22....xn2=1>0
=> Số thừa số -1 là số chẵn
=>n/2 chẵn
=> n chia hết cho 4(đpcm)
Bài 6:
Hướng dẫn: giả sử \(A\left(x\right)=a_o+a_1x+a_2x^2+...+a_{4018}x^{4018}\)
Khi đó A(1)\(=a_o+a_1+a_2+...+a_{4018}\)
do A(1) =0 nên \(a_o+a_1+a_2+...+a_{4018}=0\)
Bài 7:
Gợi ý: Đặt x=111.1( n chữ số 1)
Ta có: 10n=9x+1
=> a=x10n+x=x(9x+1)+x;b=10x+1;c=6x
Ta có: a+b+c+8=x(9x+1)+x+10x+1+6x+8=9x2+18x+9=(3x+3)2
Cách khác: Quy về dạng tổng quát : a=(102n-1):9,...
Bài 9:
- Những phân số lớn hơn a nhỏ hơn b có mẫu là 7 là:
\(a+\frac{1}{7};a+\frac{2}{7};a+\frac{3}{7};...;b-\frac{2}{7};b-\frac{1}{7}\)
Tổng của chúng là: \(A=\left(a+\frac{1}{7}\right)+\left(a+\frac{2}{7}\right)+...+\left(b-\frac{2}{7}\right)+\left(b-\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{1}{7}\text{[}\left(7a+1\right)+\left(7a+2\right)+...+\left(7b-2\right)+\left(7b-1\right)\text{]}\)
\(=\frac{1}{7}.\frac{1}{2}\text{[}\left(7a+1\right)+\left(7b-1\right)\text{]}\text{[}\left(7b-1\right)-\left(7a+1\right)+1\text{]}\)
\(=\frac{1}{14}\left(7a+7b\right)\left(7b-7a-1\right)=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(7b-7a-1\right)\)
- Những phân số lớn hơn a nhỏ hơn b sau khi rút gọn(vì 7 là số nguyên tố) là:
a+1;a+2;...;b-2;b-1
Tổng của chúng là: \(B=\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+...+\left(b-2\right)+\left(b-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\text{[}\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\text{]}\text{[}\left(b-1\right)-\left(a+1\right)+1\text{]}\)
\(=\frac{1}{2}\text{[}\left(a+b\right)\text{]}\text{[}b-a-1\text{]}\)
Tổng phải tìm là: \(A-B=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(7b-7a-1\right)-\frac{1}{2}\text{[}\left(a+b\right)\text{]}\text{[}b-a-1\text{]}=3\left(a^2-b^2\right)\)
Bài 10:
Đặt \(n=2k-1\left(k\in N,k>1\right)\). Ta có:
\(A=1+3+5+...+\left(2k-1\right)=\frac{1+\left(2k-1\right)}{2}.k=k^2\)
Vậy A là số chính phương
ck giúp mình với
Bài toán 3
a. 25 - y^2 = 8(x - 2009)
Ta có thể viết lại như sau:
y^2 - 8(x - 2009) + 25 = 0Đây là phương trình bậc hai với hệ số thực.
Ta có thể giải phương trình này như sau:
y = (8x - 1607 ± √(8x - 1607)^2 - 4 * 1 * 25) / 2 y = (4x - 803 ± √(4x - 803)^2 - 200) / 2 y = 2x - 401 ± √(2x - 401)^2 - 100Ta thấy rằng nghiệm của phương trình này là xấp xỉ 2009 và -2009.
Tuy nhiên, trong bài toán, x và y là số tự nhiên.
Vậy, nghiệm của phương trình này là x = 2009 và y = 0.
b. x^3 y = x y^3 + 1997
Ta có thể viết lại như sau:
x^3 y - x y^3 = 1997 x y (x^2 - y^2) = 1997 x y (x - y)(x + y) = 1997Ta có thể thấy rằng x và y phải có giá trị đối nhau.
Vậy, nghiệm của phương trình này là x = y = 1997/2 = 998,5.
Tuy nhiên, trong bài toán, x và y là số tự nhiên.
Vậy, nghiệm của phương trình này là x = y = 998.
c. x + y + 9 = xy - 7
Ta có thể viết lại như sau:
x - xy + y + 16 = 0Đây là phương trình bậc hai với hệ số thực.
Ta có thể giải phương trình này như sau:
x = (xy - 16 ± √(xy - 16)^2 - 4 * 1 * 16) / 2 x = (y - 4 ± √(y - 4)^2 - 64) / 2 x = y - 4 ± √(y - 4)^2 - 32Ta thấy rằng nghiệm của phương trình này là xấp xỉ 8 và -8.
Tuy nhiên, trong bài toán, x và y là số tự nhiên.
Vậy, nghiệm của phương trình này là x = 8 và y = 12.
Bài toán 4
Ta có thể chứng minh bằng quy nạp.
Cơ sở
Khi n = 2, ta có:
x1.x2 + x2.x3 = 0Vậy, x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 khi n = 2.
Bước đệm
Giả sử rằng khi n = k, ta có:
x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0Bước kết luận
Xét số tự nhiên n = k + 1.
Ta có:
x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 + xn.x1Theo giả thuyết, ta có:
x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0Vậy, xn.x1 = -(x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1) = 0.
Như vậy, ta có:
x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 shareGoogle it???
bn lấy nó đâu ra dz
3 $\textbf{a)}$
$25-y^2=8(x-2009)$
$\Leftrightarrow(5-y)(5+y)=8(x-2009).$
Vì $8\mid(25-y^2)$ nên $25-y^2\equiv0\pmod8.$
Mà $25\equiv1\pmod8,\qquad y^2\equiv0,1,4\pmod8,$ nên $1-y^2\equiv0\pmod8$
$\Rightarrow y$ là số lẻ.
Đặt $y=2k+1\ (k\in\mathbb Z).$
Khi đó $x=2009+\dfrac{25-(2k+1)^2}{8}.$
Vậy mọi nghiệm nguyên có dạng $\boxed{\left(x,y\right)=\left(2009+\dfrac{25-(2k+1)^2}{8},\,2k+1\right),\ k\in\mathbb Z.}$
3 $\textbf{b)}$
$x^3y=xy^3+1997$
$\Leftrightarrow xy(x^2-y^2)=1997$
$\Leftrightarrow xy(x-y)(x+y)=1997.$
Vì $1997$ là số nguyên tố nên $xy(x-y)(x+y)=\pm1,\ \pm1997.$
Nếu $x=0,\ y=0,\ x=y$ thì đều vô lý.
Nếu $x-y=\pm1$ thì $xy(x+y)=\pm1997.$
Nếu $x+y=\pm1$ thì $xy(x-y)=\pm1997.$
Thử các ước của $1997$ là $\pm1,\pm1997$ đều không thu được nghiệm nguyên.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
3 $\textbf{c)}$
$x+y+9=xy-7$
$\Leftrightarrow xy-x-y=16
$\Leftrightarrow(x-1)(y-1)=17.$
Vì $17$ là số nguyên tố nên
$\begin{cases}x-1=1,\ y-1=17;\\x-1=17,\ y-1=1;\\x-1=-1,\ y-1=-17;\\x-1=-17,\ y-1=-1.\end{cases}$
Suy ra $(x,y)=(2,18),\ (18,2),\ (0,-16),\ (-16,0).$
4. Đặt $S=x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1.$
Theo giả thiết, $S=0.$
Mỗi tích $x_ix_{i+1}$ chỉ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$.
Gọi $m$ là số tích bằng $1,$
$k$ là số tích bằng $-1.$
Khi đó $\begin{cases}m+k=n,\\m-k=0.\end{cases}$
Suy ra $m=k=\dfrac n2.$
Do đó $n$ là số chẵn.
Mặt khác, $(x_1x_2)(x_2x_3)\cdots(x_nx_1)$$=x_1^2x_2^2\cdots x_n^2$$=1.$
Nhưng tích trên cũng bằng $(-1)^k.$
Suy ra $(-1)^k=1,$ nên $k$ là số chẵn.
Mà $k=\dfrac n2,$ suy ra $\dfrac n2$ là số chẵn.
Vậy $n$ chia hết cho $4.$
5.
Ta có $S=\dfrac1{2^2}-\dfrac1{2^4}+\dfrac1{2^6}-\dfrac1{2^8}+\cdots+\dfrac1{2^{2002}}-\dfrac1{2^{2004}}.$
Nhóm từng hai số hạng:
$S=\left(\dfrac1{2^2}-\dfrac1{2^4}\right)+\left(\dfrac1{2^6}-\dfrac1{2^8}\right)+\cdots+\left(\dfrac1{2^{2002}}-\dfrac1{2^{2004}}\right).$
Mỗi nhóm bằng $\dfrac1{2^{4k-2}}-\dfrac1{2^{4k}}=\dfrac1{2^{4k-2}}\left(1\dfrac14\right)=\dfrac3{2^{4k}}.$
Do đó $S=\dfrac3{2^4}+\dfrac3{2^8}+\cdots+\dfrac3{2^{2004}}$
$=3\left(\dfrac1{16}+\dfrac1{16^2}+\cdots+\dfrac1{16^{501}}\right).$
Đây là cấp số nhân có công bội $\dfrac1{16}$ nên
$S<3\cdot\dfrac{\frac1{16}}{1-\frac1{16}}$
$=3\cdot\dfrac1{15}$$=\dfrac15$$=0,2.$
Vậy $S<0,2.$