10:

Vì n là số lẻ nên n=2k-1

Số số hạng là (2k-1-1):2+1=k(số)

Tổng là (2k-1+1)*k/2=2k*k/2=k^2 là số chính phương

11: 

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>\(n\in\left\{0;2;-2;2\sqrt{3};-2\sqrt{3};8;-8\right\}\)

2.

Ta có $A=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2008}+\dfrac1{2009}.$

Đặt $H=\dfrac11+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{2008}.$

Khi đó $A=H-1+\dfrac1{2009}.$

Mặt khácn$B=\dfrac{2008}{1}+\dfrac{2007}{2}+\dfrac{2006}{3}+\cdots+\dfrac2{2007}+\dfrac1{2008}$

$=\sum_{k=1}^{2008}\dfrac{2009-k}{k}$

$=\sum_{k=1}^{2008}\left(\dfrac{2009}{k}-1\right)$

$=2009\sum_{k=1}^{2008}\dfrac1k-2008$

$=2009H-2008.$

Do $A=H-1+\dfrac1{2009}$ nên $2009A=2009H-2009+1$ $=2009H-2008$ $=B.$

Suy ra $\dfrac AB=\dfrac1{2009}.$

3.

$\textbf{a)}$

$25-y^2=8(x-2009)$

$\Leftrightarrow(5-y)(5+y)=8(x-2009).$

Vế phải chia hết cho $8$ nên $25-y^2\equiv0\pmod8$.

Mà $25\equiv1\pmod8,\qquad y^2\equiv0,1,4\pmod8.$

Suy ra $1-y^2\equiv0\pmod8$

$\Rightarrow y$ lẻ.

Đặt $y=2k+1$.

Khi đó $x=2009+\dfrac{25-y^2}{8}=2009+\dfrac{25-(2k+1)^2}{8}.$

Vậy mọi nghiệm nguyên có dạng $\boxed{\left(x,y\right)=\left(2009+\dfrac{25-(2k+1)^2}{8},\,2k+1\right),\ k\in\mathbb Z.}$

3 $\textbf{b)}$

$x^3y=xy^3+1997$

$\Leftrightarrow xy(x^2-y^2)=1997$

$\Leftrightarrow xy(x-y)(x+y)=1997.$

Vì $1997$ là số nguyên tố nên $xy(x-y)(x+y)=\pm1,\ \pm1997.$

Do đó một trong các số $x,\ y,\ x-y,\ x+y$ phải bằng $\pm1$.

Nếu $x=0$ hoặc $y=0$ thì vế trái bằng $0$, vô lý.

Nếu $x=y$ thì vế trái bằng $0$, vô lý.

Nếu $x+y=\pm1$ thì $xy=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$, không thể thỏa mãn tích bằng $1997$.

Nếu $x-y=\pm1$ thì $xy(x+y)=\pm1997.$

Thử các ước của $1997$ là $\pm1,\pm1997$ đều không cho nghiệm nguyên.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

$\boxed{\text{Không có cặp số nguyên }(x,y).}$

3 $\textbf{c)}$

$x+y+9=xy-7$

$\Leftrightarrow xy-x-y=16$

$\Leftrightarrow xy-x-y+1=17$

$\Leftrightarrow(x-1)(y-1)=17.$

Vì $17$ là số nguyên tố nên $\begin{cases}x-1=1,\\y-1=17,\end{cases}\qquad\begin{cases}x-1=17,\\y-1=1,\end{cases}\qquad\begin{cases}x-1=-1,\\y-1=-17,\end{cases}\qquad\begin{cases}x-1=-17,\\y-1=-1.\end{cases}$

Suy ra các nghiệm nguyên là

$(x,y)=(2,18),$$(18,2),$$(0,-16),$$(-16,0).$

4.

Đặt $S=x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1.$

Theo giả thiết, $S=0.$

Vì mỗi $x_i=\pm1$ nên mỗi tích

$x_ix_{i+1}\in\{-1,1\}$ (với $x_{n+1}=x_1$).

Gọi $m$ là số hạng bằng $1$,

$k$ là số hạng bằng $-1$.

Khi đó $\begin{cases}m+k=n,\\m-k=S=0.\end{cases}$

Suy ra $m=k=\dfrac n2.$

Do đó $n$ là số chẵn. Mặt khác, $x_1x_2\cdot x_2x_3\cdots x_nx_1$

$=(x_1x_2x_2x_3\cdots x_nx_1)$

$=x_1^2x_2^2\cdots x_n^2$

$=1.$

Mặt khác, tích trên cũng bằng $(-1)^k,$ vì có đúng $k$ số hạng bằng $-1$.

Suy ra $(-1)^k=1,$ nên $k$ là số chẵn.

Mà $k=\dfrac n2,$ suy ra $\dfrac n2$ là số chẵn.

Vậy $n$ chia hết cho $4.$

5.

Ta có $S=\dfrac1{2^2}-\dfrac1{2^4}+\dfrac1{2^6}-\dfrac1{2^8}+\cdots+\dfrac1{2^{2002}}-\dfrac1{2^{2004}}.$

Nhóm từng hai số hạng liên tiếp:

$S=\left(\dfrac1{2^2}-\dfrac1{2^4}\right)+\left(\dfrac1{2^6}-\dfrac1{2^8}\right)+\cdots+\left(\dfrac1{2^{2002}}-\dfrac1{2^{2004}}\right).$

Mỗi nhóm bằng $\dfrac1{2^{4k-2}}-\dfrac1{2^{4k}}=\dfrac1{2^{4k-2}}\left(1-\dfrac14\right)=\dfrac3{2^{4k}}.$

Do đó $S=\dfrac3{2^4}+\dfrac3{2^8}+\cdots+\dfrac3{2^{2004}}$

$=3\left(\dfrac1{16}+\dfrac1{16^2}+\cdots+\dfrac1{16^{501}}\right).$

Đây là cấp số nhân có công bội $\dfrac1{16}$, nên

$S<3\cdot\dfrac{\frac1{16}}{1-\frac1{16}}$$=3\cdot\dfrac1{15}$$=\dfrac15$$=0,2.$

Vậy $S<0,2.$

6.

Gọi đa thức cần tìm là $A(x)=(3-4x+x^2)^{2004}(3+4x+x^2)^{2005}.$

Tổng các hệ số của một đa thức bằng giá trị của đa thức tại $x=1$.

Do đó ta tính $A(1)=(3-4+1)^{2004}(3+4+1)^{2005}$$=0^{2004}\cdot8^{2005}$$=0.$

Vậy tổng các hệ số của đa thức là $0.$

7.

Gọi $a=\underbrace{11\ldots11}_{2n\ \text{chữ số }1},$

$b=\underbrace{11\ldots11}_{n+1\ \text{chữ số }1},$

$c=\underbrace{66\ldots66}_{n\ \text{chữ số }6}.$

Khi cộng $b,\ c$ và $8$ ta được

$b+c+8=\underbrace{11\ldots11}_{n\ \text{chữ số }1}19.$

Do đó $a+b+c+8=\underbrace{11\ldots11}_{2n\ \text{chữ số }1}+\underbrace{11\ldots11}_{n\ \text{chữ số }1}19$

$=\underbrace{12\ldots221}_{n\ \text{chữ số }2}30.$

Mặt khác, $\left(\underbrace{33\ldots33}_{n\ \text{chữ số }3}5\right)^2=\underbrace{12\ldots221}_{n\ \text{chữ số }2}30.$

Suy ra $a+b+c+8=\left(\underbrace{33\ldots33}_{n\ \text{chữ số }3}5\right)^2.$

Vậy $a+b+c+8$ là số chính phương.

8.

Chọn $b=a+4.$

Khi đó $ab+4=a(a+4)+4$

$=a^2+4a+4$

$=(a+2)^2.$

Vậy $ab+4$ là số chính phương.

Do đó, với mọi số tự nhiên $a$, luôn tồn tại số tự nhiên $b=a+4$

để $ab+4$ là số chính phương.

9.

Các phân số tối giản có mẫu bằng $7$ là

$\dfrac17,\ \dfrac27,\ \dfrac37,\ \dfrac47,\ \dfrac57,\ \dfrac67.$

Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $a\le k\le b-1,$ có đúng $6$ phân số nằm trong khoảng $(k,\ k+1)$ là

$k+\dfrac17,\ k+\dfrac27,\ \ldots,\ k+\dfrac67.$

Tổng của chúng là $6k+\dfrac{1+2+3+4+5+6}{7}$$=6k+3.$

Do đó tổng các phân số cần tìm là

$\displaystyle\sum_{k=a}^{b-1}(6k+3)$

$=6\cdot\dfrac{(a+b-1)(b-a)}2+3(b-a)$

$=3(b-a)(a+b).$

Vậy tổng cần tìm là $3(a+b)(b-a).$

10.

Đặt $n=2k-1\ (k\in\mathbb N).$

Khi đó $A=1+3+5+\cdots+(2k-1).$

Ta chứng minh bằng quy nạp. Với $k=1$, $A=1=1^2.$

Giả sử $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2.$

Khi đó $1+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1)$$=k^2+2k+1$$=(k+1)^2.$

Vậy $1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2.$

Do $n=2k-1$ nên $k=\dfrac{n+1}{2}.$

Suy ra $A=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2,$ nên $A$ là số chính phương.

11.

Giả sử $n^2+1\mid n^3-n^2+2n+7.$

Ta có $n^3-n^2+2n+7$

$=n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8$

$\equiv n+8\pmod{n^2+1}.$

Do đó $n^2+1\mid n+8.$

Suy ra $n+8=0$ hoặc $|n+8|\ge n^2+1.$

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n^2+1\le n+8$

$\Leftrightarrow n^2-n-7\le0.$

Suy ra $n\le3.$

Thử các giá trị $n=0,1,2,3$:

$n=0:\ 7$ chia hết cho $1$ (đúng).

$n=1:\ 9$ không chia hết cho $2.$

$n=2:\ 15$ chia hết cho $5$ (đúng).

$n=3:\ 31$ không chia hết cho $10.$

Vậy $n=0$ hoặc $n=2.$

12.

Xét $S=1^n+2^n+3^n+4^n\pmod5.$

Ta có $3\equiv-2\pmod5,\qquad4\equiv-1\pmod5.$

Suy ra $S\equiv1+2^n+(-2)^n+(-1)^n\pmod5.$

Xét hai trường hợp.

$\bullet$ Nếu $n$ lẻ thì $(-2)^n=-2^n,\ (-1)^n=-1.$

Do đó $S\equiv1+2^n-2^n-1\equiv0\pmod5.$

Vậy $S$ chia hết cho $5$.

$\bullet$ Nếu $n$ chẵn thì $(-2)^n=2^n,\ (-1)^n=1.$

Do đó $S\equiv2+2^{\,n+1}\pmod5.$

Lại có $2^1\equiv2,\quad2^2\equiv4,\quad2^3\equiv3,\quad2^4\equiv1\pmod5,$ nên chu kì của $2^k$ theo modulo $5$ là $4$.

Vì $n$ chẵn nên $n+1\equiv1$ hoặc $3\pmod4.$

Nếu $n+1\equiv1\pmod4$ thì $2^{\,n+1}\equiv2\pmod5,$ suy ra $S\equiv2+2\equiv4\not\equiv0\pmod5.$

Nếu $n+1\equiv3\pmod4$ thì $2^{\,n+1}\equiv3\pmod5,$ suy ra $S\equiv2+3\equiv5\equiv0\pmod5.$

Điều này xảy ra khi $n\equiv2\pmod4.$

Vậy $n$ thỏa mãn khi và chỉ khi $n$ lẻ hoặc $n\equiv2\pmod4.$

Nói cách khác, $n\not\equiv0\pmod4.$