Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác AHBD có
M là trung điểm chung của AB và HD
=>AHBD là hình bình hành
Hình bình hành AHBD có \(\hat{AHB}=90^0\)
nên AHBD là hình chữ nhật
=>\(\hat{HAD}=90^0\)
Xét tứ giác AHCE có
N là trung điểm chung của AC và HE
=>AHCE là hình bình hành
Hình bình hành AHCE có \(\hat{AHC}=90^0\)
nên AHCE là hình chữ nhật
=>\(\hat{HAE}=90^0\)
\(\hat{EAD}=\hat{EAH}+\hat{DAH}=90^0+90^0=180^0\)
=>E,A,D thẳng hàng
ΔAHB vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên MH=MA=MB
ΔAHC vuông tại H
mà HN là đường trung tuyến
nên HN=NA=NC
Xét ΔMHN và ΔMAN có
MH=MA
HN=AN
MN chung
Do đó: ΔMHN=ΔMAN
=>\(\hat{MHN}=\hat{MAN}=90^0\)
=>\(\hat{EHD}=90^0\)
Xét ΔHED vuông tại H có HA là đường cao
nên \(AE\cdot AD=HA^2\)
b; \(\sin ABC=\sin\left(2\cdot ABK\right)=2\cdot\sin ABK\cdot cosABK\)
\(=2\cdot\sin ABK\cdot cosCBK\)
CM dễ vãi, AB, AC cắt nhau. Đường kính cất đường tròn tại giao D vs E
Vì $P$ là điểm đối xứng của $D$ qua $AB$ nên:
$DP\perp AB$
Mà $F\in AB$ nên:
$\widehat{DFP}=90^\circ-\widehat{CDF}$
Do $AD$ là đường kính nên:
$\widehat{ACD}=90^\circ$
Suy ra:
$\widehat{CDF}=90^\circ-\widehat{BAC}$
Do đó:
$\widehat{DFP}=\widehat{BAC}$
Suy ra:
$\widehat{AFP}=90^\circ-\widehat{BAC}$
Mặt khác, $EP\perp AB$ nên:
$\widehat{AEP}=90^\circ-\widehat{BAC}$
Vậy:
$\widehat{AFP}=\widehat{AEP}$
Suy ra $A,E,F,P$ cùng thuộc một đường tròn.
Tương tự, vì $Q$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:
$\widehat{AEQ}=\widehat{AFQ}$
Suy ra $A,E,F,Q$ cùng thuộc đường tròn đó.
Vậy:
$\boxed{A,P,F,E,Q\text{ cùng thuộc đường tròn }(S)}$
a) Xét tứ giác AKIB có
\(\widehat{AKB}=\widehat{AIB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{AKB}\) và \(\widehat{AIB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB
Do đó: AKIB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
A B C H D E F I
Dễ thấy \(\Delta\)CAH~\(\Delta\)CBA (g.g) => \(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)(1)
\(\Delta\)BHA có: D là trung điểm HB; E là trung điểm HA => DE là đường trung bình \(\Delta\)BHA
=> DE // AB => DE vuông góc AC (Do AB vuông góc AC)
Xét \(\Delta\)ADC: AH vuông góc DC, E nằm trên AH và DE vuông góc AC
=> E là trực tâm tam giác ADC => CE vuông góc AD (tại F)
Mà I là điểm đối xứng với A qua F => CE là trung trực của AI => CA=IC (2)
Thay (2) vào (1) ta được: \(\frac{CH}{IC}=\frac{IC}{CB}\)
Xét \(\Delta\)CIH và \(\Delta\)CBI: ^ICB chung; \(\frac{CH}{IC}=\frac{IC}{CB}\)=> \(\Delta\)CIH ~ \(\Delta\)CBI (c.g.c)
=> ^CIH=^CBI (đpcm).