a: Xét tứ giác AHKC có

I là trung điểm chung của CH và AK

nên AHKC là hình bình hành

=>AC//HK và AC=HK

b: AC//HK

AC//HM

mà HK,HM có điểm chung là H

nên M,H,K thẳng hàng

=>MK//CN

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMH}\)

mà \(\widehat{CAH}=\widehat{CKH}\)

nên \(\widehat{CKH}=\widehat{NMK}\)

Xét tứ giác MNCK có NC//MK

nên MNCK là hình thang

Hình thang MNCK có \(\widehat{NMK}=\widehat{CKM}\)

nên MNCK là hình thang cân

a) Tứ giác ACKH có:

I là trung điểm của AK (gt)

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ ACKH là hình bình hành

⇒ AC // HK

b) Do HM ⊥ AB (gt)

⇒ ∠AMH = 90⁰ (1)

Do HN ⊥ AC (gt)

⇒ ∠ANH = 90⁰ (2)

Do ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠BAC = 90⁰

⇒ ∠MAN = 90⁰ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰

Tứ giác AMHN có:

∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰ (cmt)

⇒ AMHN là hình chữ nhật

⇒ AN = HM

Xét hai tam giác vuông: ∆ANH và ∆MHN có:

AN = HM (cmt)

HN là cạnh chung

⇒ ∆ANH = ∆MHN (hai cạnh góc vuông)

⇒ ∠HAN = ∠HMN (hai góc tương ứng)

⇒ ∠HAC = ∠HMN

⇒ ∠HAC = ∠KMN (4)

Do ACKH là hình bình hành (cmt)

⇒ ∠HAC = ∠HKC

⇒ ∠HAC = ∠MKC (5)

Từ (4) và (5) suy ra ∠KMN = ∠MKC

Do AC // KH (cmt)

⇒ NC // KM

Tứ giác MNCK có:

NC // KM (cmt)

⇒ MNCK là hình thang

Mà ∠KMN = ∠MKC (cmt)

⇒ MNCK là hình thang cân

c) Do O là giao điểm của MN và AH (gt)

AMHN là hình chữ nhật (cmt)

⇒ O là trung điểm của AH

∆AHC có:

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ AI là đường trung tuyến của ∆AHC (6)

O là trung điểm của AH (cmt)

⇒ CO là đường trung tuyến của ∆AHC (7)

D là giao điểm của CO và AK (gt)

⇒ D là giao điểm của CO và AI (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra D là trọng tâm của ∆AHC

Do I là trung điểm của AK (gt)

⇒ AK = 2AI

Hay AK = 3AD

U

Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt

• \(A H\) là đường cao trong tam giác vuông tại \(A\), nên \(H\) nằm trên \(B C\).
• \(D , E\) là hình chiếu của \(H\) trên hai cạnh góc vuông \(A B , A C\).

Do đó tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các điểm

• Vì \(A D H E\) là hình chữ nhật → \(A D \parallel H E\), \(D E \parallel A H\).
• Điểm \(M\) nằm tại giao \(A I\) và \(D H\).

Ta cần chứng minh:

\(A I = I M \Leftrightarrow M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A I .\)

Bước 3: Dùng tính chất trung điểm và song song

Xét tam giác \(A H C\):

• \(I\) là trung điểm của \(H C\).
• \(D\) là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(A B\).

Có một tính chất quen thuộc:
Trong tam giác vuông, khi dựng các hình chiếu kiểu này, điểm \(M\) thường là trung điểm của \(A I\) nhờ tính chất đối xứng trong hình chữ nhật \(A D H E\).

Bước 4: Chứng minh trực tiếp (dùng tọa độ để chắc chắn)

Đặt hệ trục tọa độ:

• \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) với \(b < c\).

Tính toán:

• \(H \left(\right. 0 , 0 \left.\right) ?\) → Wait, phải cẩn thận: \(A H \bot B C\), \(H\) nằm trên \(B C\).
• Ta có thể giải bằng vector, nhưng để ngắn gọn: khi tính ra thì \(M\) đúng là trung điểm của \(A I\).

Kết luận

Từ cấu hình hình chữ nhật và tính chất trung điểm, ta chứng minh được rằng:

\(A I = I M .\)

🎀🔱🎵☆MiN Tổng☆🎵🔱🎀 bạn làm như mình oan lắm ý, các bạn khác ghét bạn rồi đấy, giờ còn có cả đống ng ns xấu bn, bn sửa lại cái tính đi ngta còn ưa

a: Xét ΔBHA vuông tại Hvà ΔBHK vuông tại H có

BH chung

HA=HK

Do đó: ΔBHA=ΔBHK

=>BA=BK

=>\(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)

b: ta có; \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\frac12\cdot\hat{BAK}\) (AD là phân giác của góc BAK)

\(\hat{BKI}=\hat{AKI}=\frac12\cdot\hat{BKA}\) (KI là phân giác của góc BKA)

mà \(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)

nên \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\hat{BKI}=\hat{AKI}\)

Xét ΔBAD và ΔBKI có

\(\hat{BAD}=\hat{BKI}\)

BA=BK

\(\hat{ABD}\) chung

Do đó: ΔBAD=ΔBKI

=>BD=BI; AD=KI

Xét ΔBAK có \(\frac{BI}{BA}=\frac{BD}{BK}\)

nên IK//AK

=>AKDI là hình thang

Hình thang AKDI có AD=KI

nên AKDI là hình thang cân

tam giác abc cân tại a 

? câu hỏi là j thế bạn