Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tứ giác ACKH có:
I là trung điểm của AK (gt)
I là trung điểm của HC (gt)
⇒ ACKH là hình bình hành
⇒ AC // HK
b) Do HM ⊥ AB (gt)
⇒ ∠AMH = 90⁰ (1)
Do HN ⊥ AC (gt)
⇒ ∠ANH = 90⁰ (2)
Do ∆ABC vuông tại A (gt)
⇒ ∠BAC = 90⁰
⇒ ∠MAN = 90⁰ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰
Tứ giác AMHN có:
∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰ (cmt)
⇒ AMHN là hình chữ nhật
⇒ AN = HM
Xét hai tam giác vuông: ∆ANH và ∆MHN có:
AN = HM (cmt)
HN là cạnh chung
⇒ ∆ANH = ∆MHN (hai cạnh góc vuông)
⇒ ∠HAN = ∠HMN (hai góc tương ứng)
⇒ ∠HAC = ∠HMN
⇒ ∠HAC = ∠KMN (4)
Do ACKH là hình bình hành (cmt)
⇒ ∠HAC = ∠HKC
⇒ ∠HAC = ∠MKC (5)
Từ (4) và (5) suy ra ∠KMN = ∠MKC
Do AC // KH (cmt)
⇒ NC // KM
Tứ giác MNCK có:
NC // KM (cmt)
⇒ MNCK là hình thang
Mà ∠KMN = ∠MKC (cmt)
⇒ MNCK là hình thang cân
c) Do O là giao điểm của MN và AH (gt)
AMHN là hình chữ nhật (cmt)
⇒ O là trung điểm của AH
∆AHC có:
I là trung điểm của HC (gt)
⇒ AI là đường trung tuyến của ∆AHC (6)
O là trung điểm của AH (cmt)
⇒ CO là đường trung tuyến của ∆AHC (7)
D là giao điểm của CO và AK (gt)
⇒ D là giao điểm của CO và AI (8)
Từ (6), (7) và (8) suy ra D là trọng tâm của ∆AHC
Do I là trung điểm của AK (gt)
⇒ AK = 2AI
Hay AK = 3AD
a: Xét tứ giác AHKC có
I là trung điểm chung của AK và HC
=>AHKC là hình bình hành
=>AC//HK
b: AC//HK
AC//HM
HK cắt HM tại H
=>H,M,K thẳng hàng
=>NC//MK
AHKC là hình bình hành
=>góc CKH=góc CAH
mà góc CAH=góc NMH(AMHN là hình chữ nhật)
nên góc CKM=góc NMK
=>CNMK là hình thang cân
c: AMHN là hình chữ nhật
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔCAH có
CO,AI là trung tuyến
CO cắt AI tại D
=>D là trọng tâm
=>AD=2/3AI=2/3*1/2*AK=1/3AK
=>AK=3AD
Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt
- \(A H\) là đường cao trong tam giác vuông tại \(A\), nên \(H\) nằm trên \(B C\).
- \(D , E\) là hình chiếu của \(H\) trên hai cạnh góc vuông \(A B , A C\).
Do đó tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các điểm
- Vì \(A D H E\) là hình chữ nhật → \(A D \parallel H E\), \(D E \parallel A H\).
- Điểm \(M\) nằm tại giao \(A I\) và \(D H\).
Ta cần chứng minh:
\(A I = I M \Leftrightarrow M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A I .\)
Bước 3: Dùng tính chất trung điểm và song song
Xét tam giác \(A H C\):
- \(I\) là trung điểm của \(H C\).
- \(D\) là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(A B\).
Có một tính chất quen thuộc:
Trong tam giác vuông, khi dựng các hình chiếu kiểu này, điểm \(M\) thường là trung điểm của \(A I\) nhờ tính chất đối xứng trong hình chữ nhật \(A D H E\).
Bước 4: Chứng minh trực tiếp (dùng tọa độ để chắc chắn)
Đặt hệ trục tọa độ:
- \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) với \(b < c\).
Tính toán:
- \(H \left(\right. 0 , 0 \left.\right) ?\) → Wait, phải cẩn thận: \(A H \bot B C\), \(H\) nằm trên \(B C\).
- Ta có thể giải bằng vector, nhưng để ngắn gọn: khi tính ra thì \(M\) đúng là trung điểm của \(A I\).
Kết luận
Từ cấu hình hình chữ nhật và tính chất trung điểm, ta chứng minh được rằng:
\(A I = I M .\)
a: Xét tứ giác AHKC có
I là trung điểm chung của CH và AK
nên AHKC là hình bình hành
=>AC//HK và AC=HK
b: AC//HK
AC//HM
mà HK,HM có điểm chung là H
nên M,H,K thẳng hàng
=>MK//CN
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
=>AMHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMH}\)
mà \(\widehat{CAH}=\widehat{CKH}\)
nên \(\widehat{CKH}=\widehat{NMK}\)
Xét tứ giác MNCK có NC//MK
nên MNCK là hình thang
Hình thang MNCK có \(\widehat{NMK}=\widehat{CKM}\)
nên MNCK là hình thang cân
a: Sửa đề: AC=HK
Xét ΔIAC và ΔIKH có
IA=IK
\(\hat{AIC}=\hat{KIH}\) (hai góc đối đỉnh)
IC=IH
Do đó: ΔIAC=ΔIKH
=>AC=KH
b: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔCAH có
CO,AI là các đường trung tuyến
CO cắt AI tại D
Do đó: Dlà trọng tâm của ΔCAH
Xét ΔAKC có
I là trung điểm của AK
IE//CK
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔCAH có
D là trọng tâm
E là trung điểm của AC
Do đó: H,D,E thẳng hàng
a: Xét ΔBHA vuông tại Hvà ΔBHK vuông tại H có
BH chung
HA=HK
Do đó: ΔBHA=ΔBHK
=>BA=BK
=>\(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)
b: ta có; \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\frac12\cdot\hat{BAK}\) (AD là phân giác của góc BAK)
\(\hat{BKI}=\hat{AKI}=\frac12\cdot\hat{BKA}\) (KI là phân giác của góc BKA)
mà \(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)
nên \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\hat{BKI}=\hat{AKI}\)
Xét ΔBAD và ΔBKI có
\(\hat{BAD}=\hat{BKI}\)
BA=BK
\(\hat{ABD}\) chung
Do đó: ΔBAD=ΔBKI
=>BD=BI; AD=KI
Xét ΔBAK có \(\frac{BI}{BA}=\frac{BD}{BK}\)
nên IK//AK
=>AKDI là hình thang
Hình thang AKDI có AD=KI
nên AKDI là hình thang cân