Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-mx+m-3=0\) (1)

Để d cắt (P) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow\Delta=m^2-m+3>0\) (luôn đúng)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=17\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=17\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(m-3\right)=17\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-11=0\Rightarrow m=1\pm2\sqrt{3}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m+3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-x+m-3=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-3\right)\)

\(=1-2\left(m-3\right)\)

\(=1-2m+6\)

=-2m+7

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow-2m+7>0\)

\(\Leftrightarrow-2m>-7\)

hay \(m< \dfrac{7}{2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-3}{\dfrac{1}{2}}=2m-6\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_2=3x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_1=2\\x_2=3x_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1}{2}\\x_2=3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=2m-6\)

\(\Leftrightarrow2m-6=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow2m=\dfrac{27}{4}\)

hay \(m=\dfrac{27}{8}\)(loại)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=mx-1\)\(\Leftrightarrow x^2-mx+1=0\)(*)

pt (*) có \(\Delta=\left(-m\right)^2-4.1.\left(-1\right)=m^2+4\)

Vì \(m^2+4>0\)nên \(\Delta>0\)hay pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với việc (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=1\end{cases}}\)

Như vậy ta có \(x_2\left(x_1^2+1\right)=3\)\(\Leftrightarrow x_2x_1^2+x_2=3\)\(\Leftrightarrow x_1+x_2=3\)\(\Rightarrow m=3\)\

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(m=3\)

kiểm tra lại đề nhé lỗi quá

pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(mx^2=-3x+1\)\(\Leftrightarrow mx^2+3x-1=0\)(*)

pt (*) có \(\Delta=3^2-4.m.\left(-1\right)=4m+9\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta=4m+9>0\Leftrightarrow m>-\frac{9}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-\frac{9}{4}\\m\ne0\end{cases}}\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=-\frac{1}{m}\)

A và B nằm cùng phía với trục tung \(\Rightarrow x_1,x_2\)cùng dấu \(\Rightarrow x_1x_2>0\)\(\Rightarrow-\frac{1}{m}>0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{m}< 0\)\(\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(-\frac{9}{4}< m< 0\)

Sửa đề (d) y=2(m-1)x+m^2+2m

a, đường thẳng d đi qua điểm M(1;3) => \(x_M=1;y_M=3\)

Ta có; \(y_M=2\left(m-1\right)x_M+m^2+2m\)

=>\(3=2\left(m-1\right).1+m^2+2m\)

<=>\(m^2+2m+2m-2-3=0\)

<=>\(m^2+4m-5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-5\end{cases}}\)

b, Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

\(x^2=2\left(m-1\right)x+m^2+2m\) 

<=>\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0\)(1)

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m^2-2m\right)=m^2-2m+1+m^2+2m=2m^2+1>0\)

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt => (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

c, Theo vi-ét ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^2-2m\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2+6x_1x_2>2017\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2-2017>0\)

<=>\(4\left(m-1\right)^2+4\left(-m^2-2m\right)-2017>0\)

<=>\(4m^2-8m+4-4m^2-8m-2017>0\)

<=>\(-16m-2013>0\)

<=>\(m< \frac{-2013}{16}\)

Xét pt tọa độ giao điểm:

X²=(m+4)x-2m-5

<=> -x²+(m+4)x-2m-5

a=-1.   b= m+4.  c=2m-5

Để pt có 2 No pb =>∆>0

=> (m+4)²-4×(-1)×2m-5>0

=> m² +2×m×4+16 +8m-20>0

=> m²+9m -2>0

=> x<-9 và x>0