Mình chỉ giải c thôi nhé :) Phần a, b nếu ai muốn biết hỏi @Nấm Chanel

A B C H E F K O I

Có \(\widehat{HEA}=\widehat{BAC}=90^o\) nên \(EH\text{//}AC\) hay \(EH\text{//}FK\)

Đồng thời tứ giác \(EHFA\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, tức EH = FA ( 2 cạnh đối ), mà AF = FK ( giả thiết ) nên EH = FK

Từ đó suy ra tứ giác EHKF là hình bình hành nên EK cắt HF tại trung điểm mỗi đường, hay I là trung điểm EK (1)

Đồng thời hình chữ nhật EHFA có hai đường chéo EF và AH cắt nhau tại O, nên O là trung điểm EF ( tính chất hình chữ nhật ) (2)

(1)(2)\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình \(\Delta EKF\) , suy ra OI // FK, hay OI // AC

Vậy ...

Bạn tự vẽ hình nha:

a)Xét tứ giác AIHK, có:

góc A=90 độ(gt)

góc AIH =90 độ( D,H đx qua AB)

góc AKH=90 độ(H,E đx qua AC)

=> AIHK là hình chữ nhật

b)Vì D,H đx qua AB nên AB là đường trung trực của DH

=> AD=AH (1)

Vì H,E đx qua AC nên AC là đường trung trực của HE

=> AH=AE(2)

Từ (1) và (2) => AD=AE(*)

Tam giác ADH cân tại A (AH=AD) có AB là đtt nên AB cũng là đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến

=> góc DAH=\(2.A_2\)

Tam giác AHE cân tại A (AH=AE) có AC là đtt nên AC cũng là đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến

=> góc HAE=\(2.A_3\)

Ta có: góc DAH +góc HAE=\(2.A_2+2.A_3=2\left(A_2+A_3\right)=2.90\text{đ}\text{ộ}=180\text{đ}\text{ộ}\)

hay góc DAE=180 độ => 3 điểm D,A,E thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) => D,E đx qua A (đpcm)

c) Xét tam giác AIH và tam giác AKH, có:

góc AIH= góc AKH=90 độ

AH chung

AI=HK(AIHK là hcn)

=> tam giác AIH=tam giác AKH(ch_cgv)(3)

Xét tam giác ADI và tam giác AHI, có:

\(A_1=A_2\)(AB là p/g của góc DAH)

AI là cạnh chung

góc DIA= góc HIA=90 độ

=> tam giác ADI = tam giác AHI(cgv-gnk)(4)

Chứng minh tương tự, ta được : tam giác AEK= tam giác AHK(cgv-gnk)(5)

Từ (3), (4) và (5) => tam giác AIH=AKH=AKE=AID

Ta có :

\(S_{AIHK}=AI.AH=s\)

=> \(\frac{S_{AIHK}}{2}=S_{AIH}=\frac{s}{2}\)

=> \(S_{DHE}=S_{AIH}+S_{AKH}+S_{AKE}+S_{AID}=4.S_{AIH}\)

\(=4.\frac{s}{2}=2.s\)

Vậy: diện tích \(S_{DHE}=2.s\)

Mình đã làm hưng câu c) khá dài dòng, mình nghĩ rằng nên chứng minh theo cách khác ngắn gọn hơn, bài giải câu c) là dành cho trường hợp không biết làm sao chứng minh tam giác theo cách dài dòng nên bạn nào có cách giải câu c) hay hơn không? mình nghĩ là có các bạn cùng thảo luận nha!

 Chúc bạn học thật giỏi nha!!!!!!!!

a: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BMNC có MN//BC

nên BMNC là hình thang

b: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=MA=MB

MH=MA

=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)

ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=NA=NC=AC/2

NA=NH

=>N nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1),(2) suy ra MN là đường trung trực của AH

=>A đối xứng H qua MN

c: Xét ΔBAC có

M,P lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MP là đường trung bình của ΔBAC
=>\(MP=\frac{CA}{2}\)

=>MP=HN

c: Ta có; MP=HN

HN=NA

Do đó: MP=NA

MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//AC

=>MP//AN

Xét tứ giác AMPN có

MP//AN

MP=AN

Do đó: AMPN là hình bình hành

=>PN//AM và PN=AM

PN=AM

mà AB=2AM

và PQ=2PN

nên PQ=AB

PN//AM

=>PQ//AB

AMPN là hình bình hành

=>AP cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của MN

nên I là trung điểm của AP

Xét tứ giác ABPQ có

AB//PQ

AB=PQ

Do đó: ABPQ là hình bình hành

=>AP cắt QB tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AP

nên I là trung điểm của BQ

=>B,I,Q thẳng hàng

a: Xét ΔHAD co HM/HA=HN/HD

nên MN//AD và MN=AD/2

b: MN//AD và MN=AD/2

=>MN//BC và MN=BC/2

=>MN//BI và MN=BI

=>MNIB là hình bình hành

a) Xét `\Delta AHD` có :

`{( AM=MH),(DN=NK):}`

`=> MN` là đường trung bình `\Delta AHD => MN //// AD`

b) Do `{( MN //// AD ( cmt )),( AD //// BC \text{( gt )}):}`

`=> MN //// BC=>MN ////BI` (1)

Lại có `MN` là đường trung bình `\Delta AHD => MN = 1/2AD= 1/2BC` (2)

Lại có `I` là trung điểm `BC => BI =1/2BC` (3)

(2),(3) `=> MN=BI` (4)

(1),(4) `=>` Tứ giác `BMNI` là hình bình hành . 

c)

Do `{( AD \bot AB ),( MN //// AD ):} => MN \bot AB`

Xét `\Delta ABN có {( MN \bot AB(cmt)),( AH \bot BD \text{( gt )}):}`

`=> M` là trực tâm `\Delta ABN => BM \bot AN`

Mà `BM //// NI` ( Tứ giác `BMNI` là hình bình hành ) `=> AN \bot AI => \Delta ANI` vuông tại `N` 

a: Ta có: D và M đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của MD

=>AB vuông góc với MD tại trung điểm của MD

=>E là trung điểm của MD

=>AD=AM

=>ΔADM cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của góc DAM(1)

Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của DN

=>AC vuông góc với DN tại trung điểm của DN

=>F là trung điểm của DN

=>ΔAND cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc DAN(2)

Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét tứ giác ADBM có

E là trung điểm của AB

E là trung điểm của MD

Do đó: ADBM là hình bình hành

mà DA=DB

nên ADBM là hình thoi

c: Từ (1)và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=2\cdot90^0=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN

nên A là trung điểm của MN