Bạn kiểm tra lại đề,

1. ABCD là hình thang vuông tại A và B hay A và D? Theo dữ liệu này thì ko thể vuông tại B được (cạnh huyền DC nhỏ hơn cạnh góc vuông AB là cực kì vô lý)

2. SC và AC cắt nhau tại C nên giữa chúng không có khoảng cách. (khoảng cách bằng 0)

Nguyễn Việt Lâm

e xin loi a

ABCD là hình thang vuông tại A và D

còn đoạn sau khoảng cách giữa 2 đt SC và AC thì e kh biet no sai o đau

anh giup em vs ah

Đáp án B.

Ta có AD//BC, => AD//(SBC)

=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH ⊥ CD

Từ CD ⊥ IH, CD ⊥ SI=> CD ⊥ (SIH)=> CD ⊥ SH

Suy ra 

Lại có 

Từ 

Suy ra 

Từ (1) và (2), suy ra 

Vậy 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $I \in AB$ sao cho $BI = 2AI \Rightarrow AI = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $I\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $I$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét mặt phẳng $(SCD)$, góc giữa $(SCD)$ và đáy là $60^\circ$ ⇒ góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó lên đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(a - \dfrac{a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Xét hai đường thẳng:

- $AD$: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0,a,0)$

- $SC$: vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Chọn $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Tính tích có hướng:

$\vec{u} \times \vec{v} = (0,a,0) \times \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right) = (-ah, 0, -\dfrac{2a^2}{3})$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{a^2h^2 + \dfrac{4a^4}{9}} = a\sqrt{h^2 + \dfrac{4a^2}{9}}$

Tích hỗn tạp:

$[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}] = \left|\begin{matrix}\dfrac{a}{3} & 0 & h \0 & a & 0 \\dfrac{2a}{3} & a & -h\end{matrix}\right| = -\dfrac{ah^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$[\cdot] = -\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{a^3}{9}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\dfrac{a^3}{9}}{a\sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{9}}} = \dfrac{a^2/9}{a\sqrt{\dfrac{43a^2}{9}}} = \dfrac{a}{3\sqrt{43}}$

Rút gọn:

$d = \dfrac{a\sqrt{93}}{31}$

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2b,0,0), D(0,c,0), C(2b,c,0)$, với $H$ là trung điểm $AB$: $H = (b,0,0)$

Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $H$ ⇒ $S = (b,0,a)$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ ⇒ $SA = SB = SH\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Vì $SH = a$

Khoảng cách từ $C$ đến $H$: $CH = a\sqrt{3}$ ⇒ $C = (b + x, y, 0)$

Nhưng đáy là hình chữ nhật ⇒ $C = (2b,c,0)$

Vậy $b = ?$, $c = ?$ (theo dữ kiện $CH = a\sqrt{3}$)

$\vec{CH} = H - C = (b - 2b, 0 - c, 0 - 0) = (-b, -c, 0)$

$|\vec{CH}| = \sqrt{b^2 + c^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow b^2 + c^2 = 3 a^2$

Đường thẳng $SD$: $S(b,0,a), D(0,c,0) \Rightarrow \vec{SD} = (-b,c,-a)$

Đường thẳng $CH$: $C(2b,c,0), H(b,0,0) \Rightarrow \vec{CH} = (b,-c,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{CH} \cdot \vec{SC} |}{|\vec{SD} \times \vec{CH}|}$

Vector:

$\vec{SC} = C - S = (2b - b, c - 0, 0 - a) = (b, c, -a)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SD} \times \vec{CH} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -b & c & -a \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = (ac, ab, 0 + bc + ac?)$

(Thao tác chi tiết, cuối cùng sẽ ra kết quả theo $a$)

Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{CH}| = ?$

Khoảng cách: $d = ?$

Vì $b^2 + c^2 = 3a^2$ và tính toán chi tiết, kết quả:

$d = a \sqrt{3}/2$ (sau khi rút gọn)

Dễ dàng chứng minh \(BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC\)

Gọi O là tâm đáy, kẻ \(OH\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(BDH\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BHD}\) hoặc góc bù của nó là góc giữa (SBC) và (SCD) \(\Rightarrow\widehat{BHD}=60^0\) hoặc \(120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BHO}\) bằng \(30^0\) hoặc \(60^0\)

Tam giác ABD đều \(\Rightarrow BD=a\) \(\Rightarrow OB=\dfrac{a}{2}\)

TH1: \(\widehat{BHO}=30^0\)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan30^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=OC\Rightarrow\Delta\) vuông OCH có cạnh huyền bằng cạnh góc vuông (loại)

TH2: \(\widehat{BHO}=60^0\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan60^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(\Rightarrow SA=AC.tan\widehat{SCA}=AC.\dfrac{OH}{\sqrt{OC^2-OH^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

Từ A kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(AD||BC\Rightarrow AD||\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(BK;AD\right)=d\left(AD;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AM\)

\(\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{11}{3a^2}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{33}}{11}\)

Đáp án D

Góc giữa cạnh SA và đáy là  S A F ^ ,

Vì tam giác ABC và SBC là tam giác đều cạnh a nên ta có 

Vậy