a)  BD, CE là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DA = DC;   EA =EB

\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)ED // BC;  ED = 1/2 BC

\(\Delta GBC\)có   MG = MB;   NG = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC;   MN = 1/2 BC

suy ra:  MN // ED;    MN = ED

\(\Rightarrow\)tứ giác MNDE là hình bình hành

c) MN = ED = 1/2 BC

\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC

Xét tg ABC có :

E là trđ AB

D là trđ AC

Nên Ed là Đg TB của tg ABC

Nên ED // BC ; ED=1/2 BC (1)

Xét tg GBC có 

M là trđ BG

N là trđ GC

nên MN là đg tb của tg GBC

MN //BC; MN=1/2BC (2)

từ (1) và (2) ED=MN; ED//MN nêm EDNM là HBH

A B C D E G M N

b) Vì CE;BD lần lượt là đườg trung tuyến của tam giác ABC và cắt nhau tại G (gt)

=>G là trọng tâm của tam giác ABC

Vì M trung điểm BG => MG=1/3BD

     N trung điểm CG=> NG=1/3EC

Do đó: => BD=EC => AB=AC

=> tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC cân tại A thì MNDE là hcn

TL:

a,Glà trọng tâm của tam giác ABC nên GD =1/2 BG suy ra GM= GD

Tương tự EG=GN suy ra MNDE là hình bình hành

^HT^

bạn tự vẽ hình nha

a)Trong tam giác ABC có: E là trung điểm của AB; D là trung điểm của AC

=> ED là đường trung bình của ABC

=> ED//BC và ED=\(\frac{1}{2}\)BC (1)

=> tứ giác BEDC là hình thang

b) Trong tam giác CBG có: M là trung điểm của GB; N là trung điểm của GC

=> MN là đường trung bình của tam giác CBG

=> MN//BC và MN=\(\frac{1}{2}\)BC (2)

Từ (1) và (2) => ED//MN và ED = MN

=> tứ giác MEDN là hình bình hành

c) Tứ giác MEDN là hcn <=> MEDN là hbh

Có 2 đường chéo bằng nhau <=> EN = DM

Mà EN = \(\frac{2}{3}\)EC; DM = \(\frac{2}{3}\)DB

Lại có: hình thang BEDC có EC = BD

=> BEDC là hình thang cân tại A

Vậy tam giác ABC tại thì tứ giác MEDN là hcn

Hình tự vẽ

a) Trong tam giác ABC , có :

EA = EB ( CE là trung tuyến )

DA = DC ( DB là trung tuyến )

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC

=> ED // BC (1) , DE = 1/2 BC (2)

Trong tam giác GBC , có :

MG = MB ( gt)

NG = NC ( gt)

=> MN là đương trung bình của tam giác GBC

=> MN // BC (3) , MN = 1/2 BC (4)

Từ 1 và 2 => ED // MN ( * )

Từ 3 và 4 => ED = MN ( **)

Từ * và ** => EDMN là hbh ( DHNB )

Bài làm

a) Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm của AB ( do CE trung tuyến  )

D là trung điểm của AC ( Do BD trung tuyến )

=> ED là đường trung bình 

=> ED = 1/2 BC và ED // BC            ^₍₁₎ 

Xét tam giác GBC có:

M là trung điểm BG ( gt )

N là trung điểm GC ( gt )

=> MN là đường trung bình.

=> MN = 1/2 BC và MN // BC            ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => MN = ED và MN // ED

Xét tứ giác MNDE có:

MN = ED

MN // ED

=> MNDE là hình bình hành.

b) Để MNDE là hình chữ nhật 

<=> ME  |  MN

Giả sử tam giác ABC cân tại A

Nối AG

Xét tam giác ABG có:

E là trung điểm AB

M là trung điểm BG

=> ME là đường trung bình.

=> ME = 1/2 AG và ME // AG

Vì CE và BD ;à đường trung tuyến và cắt nhau tại G

=> G là giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác ABC

=> AG là đường trung tuyến

Mà tam giác ABC cân ( theo giả sử )

=> AG vuông góc với BC

Hay AG cũng vuông góc với MN ( do BC // MN ở câu a )

Mà ME // AG

=> MN vuông góc với ME

Mà MNDE là hình bình hành

=> MNDE là hình chữ nhật.

cứ thế tự chứng minh là hình thoi rồi sẽ ra hình vuông nha. vì chỗ này dễ rồi. nên mik k chứng minh.

c) Vì MN = 1/2 BC ( cmt ) 

DE = 1/2 BC ( cmt )

=> MN + DE = 1/2 + BC + 1/2 BC = BC ( 1/2 + 1/2 ) = BC . 2/2 = BC . 1 = BC

=> MN + DE = BC ( đpcm )

# Học tốt #