Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
và AH là đường cao. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và HE.
A C B H D E I K
a) Xét tứ giác AIHK có 3 góc vuông nên AIHK là hình chữ nhật.
b) Do D và H đối xứng nhau qua AB nên AI cũng là phân giác góc DAH.
Vậy thì \(\widehat{BAH}=\frac{\widehat{DAH}}{2}\)
Tương tự \(\widehat{CAH}=\frac{\widehat{EAH}}{2}\)
Vậy nên \(\widehat{DAE}=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=180^o\)
Vậy D, A, E thẳng hàng.
c) Ta có ngay do D, H đối xứng với nhau qua AB nên BH = BD
Tương tự ta có HC = EC
Vậy nên C = BH + HC = BD + EC.
d) Ta thấy : \(\Delta ADI=\Delta AHI\Rightarrow S_{ADI}=S_{AHI}\)
Tương tự \(S_{AKH}=S_{AKE}\Rightarrow S_{AIHK}=S_{DIA}+S_{AKE}\)
\(\Rightarrow S_{AIHK}=\frac{1}{2}S_{DHE}\)
Vậy \(S_{DHE}=2a\left(đvdt\right)\)
a: Xét tứ giác AIHK có
\(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)
Do đó: AIHK là hình chữ nhật
a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.
Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:
$AB$ là đường trung trực của $DH$.
Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.
Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:
$AC$ là đường trung trực của $EH$.
Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.
Do $AC\perp AB$ nên:
$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.
Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.
Vậy $ADHK$ là hình bình hành.
Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.
Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.
Ta có: $AD=AH=AE$.
Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.
Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.
Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.
Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.
c) Chứng minh $AM\perp IK$.
Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:
$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khác: $I=AD\cap BH$.
Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.
Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:
$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.
Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.
Suy ra: $AM\perp IK$.
a: H đối xứng D qua AB
=>AB là đường trung trực của HD
=>AB⊥HD tại I và I là trung điểm của HD
H đối xứng E qua AC
=>AC là đường trung trực của HE
=>AC⊥HE tại K và K là trung điểm của HE
Xét tứ giác AIHK có \(\hat{AIH}=\hat{AKH}=\hat{IAK}=90^0\)
nên AIHK là hình chữ nhật
b: Xét ΔAIH vuông tại I và ΔAID vuông tại I có
AI chung
IH=ID
Do đó: ΔAIH=ΔAID
=>\(\hat{IAH}=\hat{IAD}\)
=>AI là phân giác của góc HAD
=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)
Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAKE vuông tại K có
AK chung
KH=KE
Do đó: ΔAKH=ΔAKE
=>\(\hat{KAH}=\hat{KAE}\)
=>AK là phân giác của góc HAE
=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)
\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)
\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)
=>D,A,E thẳng hàng
c: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MC=MB
MA=MC
=>ΔMAC cân tại M
=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}\)
AKHI là hình chữ nhật
=>\(\hat{AKI}=\hat{AHI}\)
mà \(\hat{AHI}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
nên \(\hat{AKI}=\hat{ABC}\)
\(\hat{AKI}+\hat{MAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>AM⊥KI
Xét tứ giác AIHE có
\(\widehat{AIH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAI}=90^0\)
Do đó: AIHE là hình chữ nhật
Câu hỏi của kacura - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo tại đây nhé.
Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao
nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao
nên \(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)
hay \(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Xét ΔAIK vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Do đó: ΔAIK\(\sim\)ΔACB
Suy ra: \(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\)