Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 3
A B C D E M N K K' x I O
Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )
Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K
Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I
dễ thấy O là trung điểm MN
do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)
\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N
\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)
Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )
mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng
A B C H M E F D
Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC
Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành
\(\Rightarrow\)DE // CF
\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH
\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)
Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình
\(\Rightarrow\)MH // BD
\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)
a: Xét ΔMOB và ΔMFC có
\(\hat{MOB}=\hat{MFC}\) (hai góc so le trong, OB//FC)
\(\hat{OMB}=\hat{FMC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó;ΔMOB~ΔMFC
Xét ΔPAE và ΔPBO có
\(\hat{PAE}=\hat{PBO}\) (hai góc so le trong, AE//BO)
\(\hat{APE}=\hat{BPO}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔPAE~ΔPBO
A B C H M O G N
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
A B C D M N P Q E F T S
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
Xét ΔBAO có
D,M lần lượt là trung điểm của BA,BO
=>DM là đường trung bình của ΔBAO
=>DM//AO và \(DM=\frac{AO}{2}\)
Xét ΔCAO có
F,N lần lượt là trung điểm của CA,CO
=>FN là đường trung bình của ΔCAO
=>FN//AO và \(FN=\frac{AO}{2}\)
DM//AO
FN//AO
Do đó: DM//FN
\(DM=\frac{AO}{2}\)
\(FN=\frac{AO}{2}\)
Do đó: DM=FN
XétΔOBC có
M,E lần lượt là trung điểm của BO,BC
=>ME là đường trung bình của ΔOBC
=>ME//OC và \(ME=\frac{OC}{2}\)
Xét ΔAOC có
L,F lần lượt là trung điểm của AO,AC
=>LF là đường trung bình của ΔAOC
=>LF//OC và \(LF=\frac{OC}{2}\)
ME//OC
LF//OC
Do đó:ME//LF
\(ME=\frac{OC}{2}\)
\(LF=\frac{OC}{2}\)
Do đó: ME=LF
Xét tứ giác MEFL có
ME//FL
ME=FL
Do đó;MEFL là hình bình hành
=>MF cắt EL tại trung điểm của mỗi đường(1)
Xét tứ giác DMNF có
DM//NF
DM=NF
Do đó; DMNF là hình bình hành
=>DN cắt MF tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra DN,MF,EL đồng quy
Xét ΔABC có
D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DF là đường trung bình của ΔABC
=>DF//BC và \(DF=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔOBC có
M,N lần lượt là trung điểm của OB,OC
=>MN là đường trung bình của ΔOBC
=>MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)
DF//BC
MN//BC
Do đó: DF//MN
\(DF=\frac{BC}{2}\)
\(MN=\frac{BC}{2}\)
Do đó: DF=MN
Xét tứ giác DFNM có
DF//NM
DF=NM
Do đó: DFNM là hình bình hành
=>DN cắt FM tại trung điểm của mỗi đường(1)
Xét ΔABO có
D,L lần lượt là trung điểm của AB,AO
=>DL là đường trung bình của ΔABO
=>DL//BO và \(DL=\frac{BO}{2}\)
Xét ΔOBC có
E,N lần lượt là trung điểm của CB,CO
=>EN là đường trung bình của ΔOBC
=>EN//OB và \(EN=\frac{OB}{2}\)
DL//OB
EN//OB
Do đó: DL//EN
\(DL=\frac{BO}{2}\)
\(EN=\frac{BO}{2}\)
Do đó: DL=EN
Xét tứ giác DLNE có
DL//NE
DL=NE
Do đó: DLNE là hình bình hành
=>DN cắt LE tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra DN,LE,FM đồng quy