1: Xét tứ giác AECF có 

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

a: Ta có: \(DE=EC=\frac{DC}{2}\)

\(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

mà DC=AB

nên DE=EC=AK=KB

Xét tứ giác AECK có

AK//CE

AK=CE

Do đó: AECK là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AECK là hình bình hành

=>AC cắt EK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của EK

=>E,O,K thẳng hàng

c: Xét ΔDIC có

E là trung điểm của DC

EN//IC

Do đó: N là trung điểm của DI

=>DN=NI(1)

Xét ΔABK có

K là trung điểm của BA

KI//AN

Do đó: I là trung điểm của BN

=>BI=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra DN=NI=IB

d: Xét ΔADC có

AE,DO là các đường trung tuyến

AE cắt DO tại N

DO đó: N là trọng tâm của ΔADC

=>\(AN=\frac23AE\)

Xét ΔABN có

K,I lần lượt là trung điểm của BA,BN

=>KI là đường trung bình của ΔABN

=>KI//AN và \(KI=\frac12AN=\frac12\cdot\frac23\cdot AE=\frac13AE\)

=>AE=3KI

A B C N M G E F I

a, xét tứ giác BICG có : 

M là trung điểm cuả BC do AM là trung tuyến (gt)

M là trung điểm của GI do I đx G qua M (gt)

=> BICG là hình bình hành (dh)

+ G là trọng tâm của tam giác ABC (gt)

=> GM = AG/2 và  GN = BG/2 (đl)

E; F lần lượt là trung điểm của  GB; GA (gt) => FG = AG/2 và GE = BG/2 (tc)

=> FG = GM và GN = GE 

=> G là trung điểm của FM và EN 

=> MNFE là hình bình hành (dh)

b, MNFE là hình bình hành (câu a)  

để MNFE là hình chữ nhật

<=> NE = FM 

có : NE = 2/3BN và FM = 2/3AM

<=> AM = BN  mà AM và BN là trung tuyến của tam giác ABC (Gt)

<=>  tam giác ABC cân tại C (đl)

c, khi BICG là hình thoi 

=> BG = CG 

BG và AG là trung tuyến => CG là trung tuyến

=> tam giác ABC cân tại A 

a) Nối AC

tam giác ACD có HA=HD; GC=GD nên HG là đường trung bình của tam giác ACD

=> HG//AC; HG=1/2AC. (1)

Tam giác ABC có EA=EB; FB=FC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF//AC; EF=1/2AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//EF; HG=EF

Tứ giác EFGH có  HG//EF; HG=EF

Vậy EFGH là hình bình hành.

b)* Để hình bình hành EFGH là hình thoi, ta cần có thêm hai cạnh kề bằng nhau.

Giả sử EH=FH mà EH=1/20BD(EA=EB, HA=HD nên EH là đường trung bình của tam giác ABD).

                            HG=1/2AC(cmt)

nên BD=AC 

Vậy để hình bình hành EFGH trở thành hình thoi thì hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải bằng nhau.

     * Để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật, ta cần có thêm một góc vuông.

Giả sử  góc H=90 độ, vì HG//AC(cmt)
                                   HG vuông góc với HE

từ hai điều này suy ra AC cũng vuông góc với HE

                           lại có HE//BD(cmt)      

từ hai điều này lại suy ra AC vuông góc với BD

vậy để hình bình hành EFGH là hình thoi, hai đuognừ chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải vuông góc với nhau.

* Để hình bình hành EFGH trở thành hình vuông ta cần có thêm hai cạnh kề bằng nhau và một góc vuông.

Giả sử HE=HG => AC=BD(cmt)

           H=90 độ => AC vuông góc với BD(cmt)

vậy để hình bình hành EFGH là hình vuông, hai đuognừ chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải bằng nhau và vuông góc với nhau.

a: Xét tứ giác AMNB có 

AB//MN

AM//BN

Do đó: AMNB là hình bình hành