Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
Vì số đó chia 3 dư 1 chia 4 dư 2 chia 5 dư 3 chia 6 dư 4 và chia hết 11 nên số đó thêm vào 240 thì chia hết cả 3; 4; 5; 6; và 11.
Khi đó gọi số cần tìm là a thì theo bài ra ta có:
(a + 240) ⋮ 3; 4; 5; 6; 11
(a +240) ∈ BC(3; 4; 5; 6; 11)
3 = 3; 4 = 2^2; 5 = 5; 6 = 2.3; 11 = 11
BCNN(3; 4; 5; 6; 11) = 2^2.3.5.11 = 660
(a + 240) ∈ B(660) = {0; 660; 1320;..}
a ∈ {- 240; 420; 1080;..}
Vì a nhỏ nhất nên a = 420
Câu 1a:
3.k.(k + 1)
= k.(k+1).(k - k + 2 + 1)
= k.(k + 1).[(k + 2) - (k -1)]
= k.(k+1).(k+2) - (k-1)k.(k+1) (đpcm)
Câu 1 b:
A = 1.2 + 2.3 + ..+ n.(n+1)
3A = 3.1.2 + 3.2.3 + ..+ 3.n.(n +1)
Áp dụng công thức ở câu a ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + ...+ n(n+1)(n+2) - (n-1).n.(n+1)
3A = n.(n+1)(n+2)
A = n(n+1)(n+2)/3
Bài 5:
Giải vì số đó chia 5 dư 3, chia 7 dư 4, nên số đó thêm vào 52 đơn vị thì chia hết cho cả 5 và 7
5 = 5; 7 = 7 BCNN(5; 7) = 35
Gọi số cần tìm là x (\(\) x ∈ N)
Theo bài ra ta có:
(x + 52) ∈ B(35) = {0; 35; 70; 105 ...}
x ∈ B(35) = {-52; -17; 18; 53;..}
Vì x là số tự nhiên nhỏ nhất nên x = 18
Vậy x = 18
Bài 11a:
(4x - 3) ⋮ (x -2)
[4(x - 2) + 5] ⋮ (x - 2)
5 ⋮ (x - 2)
(x - 2) ∈ Ư(5) = {- 5; - 1; 1; 5}
x ∈ {-3; 1; 3; 7}
Vậy x ∈ {-3; 1; 3; 7}
bài 11:
Gọi số phải tìm là: A = 567abc
Do A chia 5 dư 1 mà A lẻ nên c = 1
Tổng các chữ số của A là: 5 + 6 + 7 + a + b + 1 = a + b + 19
Để A chia 9 dư 1 thì a + b = 0 (loại)
a + b = 9
a + b = 18 (loại) (Có 2 chữ số bằng nhau 9 + 9)
Xét a + b = 9, a khác b và khác 5,6,7,1 ==> a = 9, b = 0 ==> A = 567901
==> a = 0, b = 9 ==> A = 567091
ĐS: 3 số phải thêm là: 901 hoặc 091
Đặt A = 1111....1111 (27 chữ số 1)
A=111...100...0( 9 c/s 1 và 18 c/s 0) +111...100...0(9c/s 1 và 9 c/s 0) + 111...1(9 c/s 1)
= 111...1 . 1018 + 111...1 . 109 + 111...1
= 111...1 .(1018 + 109 + 1)
Vì 111...1 có 9 c/s 1 nên tổng các c/s chia hết cho 9 \(\Rightarrow111...1⋮9\)
và (1018 + 109 + 1) chia hết cho 3 ( có tổng các c/s chia hết cho 3)
nên A= 9.k.3.k'=27.k.k' chia hết cho 27 (đpcm)
Bài 19:
Câu a: (6 - 5n) ⋮ n (n ∈ N*)
(6 - 5n) ⋮ n
6 ⋮ n
n ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Vậy n ∈ {1; 2; 3; 6}
Câu b: (n+ 4) ⋮ (n+ 1) (n ∈ N)
[(n+ 1) + 3] ⋮ (n+ 1)
3 ⋮ (n+ 1)
(n + 1) ∈ Ư(3) = {1; 3}
n ∈ {0; 2}
Vậy n ∈ {0; 2}
Câu c:
(3n - 5) ⋮ (n + 1)
[3(n - 1) - 2] ⋮ (n + 1)
2 ⋮ (n + 1)
(n + 1) ∈ Ư(2) = {1; 2}
n ∈ {0; 1; }
Vậy n ∈ {0; 1}
Câu 1a:
A = 10^5 + 35
A = \(\overline{..0}\) + 35
A = \(\overline{..5}\)
A ⋮ 5 (1)
Tổng các chữ số của tổng A là:
1 + 0 x 5 + 3+ 5 = 9
9 ⋮ 9 nên A ⋮ 9 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
A ⋮ 5 và 9
Câu b
B = 10^5 + 98
B = \(\overline{..0}\) + 98
B = \(\overline{..8}\) ⋮ 2 (1)
Tổng chữ số tổng B là:
1 + 0^5 + 9 + 8 = 18
18 ⋮ 9 nên B ⋮ 9 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
B ⋮ 2 và 9
Bài 1:
A = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^24
Xét dãy số: 1; 2; 3;...; 24
Dãy số trên có 24 số hạng vì 24 : 2 = 12 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:
A = (4+ 4^2) + (4^3 + 4^4) + ...+ (4^23 + 4^24)
A = (4+ 4^2) + 4^2.(4 + 4^2) + .. + 4^22.(4 + 4^2)
A = (4+ 4^2).(4^2 + ...+ 4^22)
A = (4+ 16).(4^2+ ..+ 4^22)
A = 20.(4^2 +..+ 4^22) ⋮ 20(đpcm)
A = 4 + 4^2 + ..+ 4^24
Vì 24 : 3 = 8 nên nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:
A = (4 + 4^2 + 4^3) + (4^4+ 4^5+ 4^6)+ ..+(4^22 + 4^23 + 4^24)
A = 4.(1+4+4^2) + 4^4.(1+ 4 + 4^2) + ..+4^22.(1 + 4 + 4^2)
A = (1 + 4 + 4^2).(4 + 4^4 + ..+ 4^22)
A = 21.(4+ 4^4 + ..+ 4^22) ⋮ 21(đpcm)
A ⋮ 20; A ⋮ 21
20 = 2^2.5; 21 = 3.7
BCNN(20; 21) = 2^2.3.5.7 = 420
A ∈ BC(20;21) ⇒ A ∈ B(420) ⇒ A ⋮ 420 (đpcm)
Bài 2
n = 29k
n là số nguyên tố khi và chỉ khi k = 1
n là hợp số khi và chi khi k ≠ 1; k ∈ N
n không phải là hợp số cũng phải là số nguyên tố khi và chỉ khi
n = 0
29k = 0
k = 0
Bài 3:(x + 1).(2y - 5) = 143
Ư(143) = {1; 11; 13; 143}
Lập bảng ta có:
x+1
1
11
13
143
x
0
10
12
142
2y-5
143
13
11
1
y
74
9
8
3
x;y∈
tm
tm
tm
tm
Theo bảng trên ta có:
(x; y) = (0; 74); (10; 9); (12; 8); (142; 3)
Vậy (x; y) = (0; 74); (10; 9); (12; 8); (142; 3)
Bài 3b:
Vì 355 chia a dư 13 nên:
(355 - 13) ⋮ a và a ≥ 13 + 1 = 14
342 ⋮ a (1)
Vì 836 chia a dư 8 nên
(836 - 8) ⋮ a và a ≥ 8 + 1 = 9 ``
828 ⋮ a (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
a ∈ ƯC(342; 828)
342 = 2.3^2.19
828 = 2^2.3^2.23
ƯCLN(342; 828) = 2.3^2= 18
a ∈ Ư(18) = {2; 3; 6; 9;18}
Vì a ≥ 14 nên a = 18
Vậy a = 18
Bài 4:
Vì số đó chia 7 dư 5, chia 13 dư 4 nên thêm vào số đó 9 đơn vị thì chia hết cho cả 7 và 13
7 = 7; 13 = 13
BCNN(7; 13) = 7.13 = 91
Gọi số đó là x thì
(x + 9) ∈ B(91)
x = 91k - 9
Vì 91 chia hết cho 9 nên đem số đó chia cho 91 thì có số dư là:
91 - 9 = 82
Kết luận:..
Bài 5a:
Gọi số cần tìm là a(a ∈ N)
a ⋮ 12; 18 và 27 nên
a ∈ BC(12; 18; 27)
12 = 2^2.3; 18 = 2.3^2; 27 = 3^3
BCNN(12; 18; 27) = 2^2.3^3 = 108
a ∈ B(108) = {0; 108; 216;...}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên a = 108
Vậy a = 108
Bài 5b:
Gọi số cần tìm là a. (a ∈ N)
Vì số cần tìm chia 12;18; 27 đều dư 1 nên số cần tìm bớt đi 1 thì chia hết cho cả 12; 18; 27
Theo bài ra ta có:
(a - 1) ⋮ 12; 18 và 27
(a - 1) ∈ BC(12; 18; 27)
12 = 2^2.3; 18 = 2.3^2; 27 = 3^3
BCNN(12; 18; 27) = 2^2.3^3 = 108
(a - 1) ∈ B(108)
Số nhỏ nhất có 4 chữ số là: 1000
vì 1000 : 108 = 9 dư 28
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 108 là:
1000 + 108 - 28 = 1080
Vậy số cần tìm là: 1080 + 1 = 1081
Kết luận: Số cần tìm là 1081
Câu 5c:
Gọi số cần tìm là a, (a ∈ N)
Vì số cần tìm chia 12 dư 10, chia 18 dư 16, chia 27 dư 25 nên số cần tìm thêm 2 vào thì sẽ chia hết cho 12, 18 và 27
Theo bài ra ta có:
(a + 2) ⋮ 12; 18 và 27
(a+ 2) ∈ B(12; 18; 27)
12 = 2^2.3; 18 = 2.3^2; 27 = 3^3
BCNN(12; 18; 27) = 2^2.3^3 = 108
(a + 2) ∈ B(108)
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 108 là 1080
Số cần tìm là:
1080 - 2 = 1078
Vậy số nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn đề bài là: 1078