Xét ΔABE và ΔADF có

AB=AD
\(\hat{ABE}=\hat{ADF}\) (ABCD là hình thoi)

BE=DF

Do đó: ΔABE=ΔADF

=>AE=AF và \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Xét ΔABG và ΔADH có

\(\hat{ABG}=\hat{ADH}\) (ΔABD cân tại A)

AB=AD
\(\hat{BAG}=\hat{DAH}\)

Do đó: ΔABG=ΔADH

=>AG=AH

Ta có:ABCD là hình thoi

=>BD là đường trung trực của AC

=>G,H đều nằm trên đường trung trực của AC

=>GA=GC; HA=HC

mà AG=AH

nên AG=GC=CH=HA

=>AGCH là hình thoi

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

a: BG+GC=BC

DH+HA=DA

mà BC=DA và BG=DH

nên CG=AH

Xét tứ giác AHCG có

AH//CG

AH=CG

Do đó: AHCG là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AHCG là hình bình hành

=>AC cắt HG tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của GH

=>G,O,H thẳng hàng

c: Xét ΔOAE và ΔOCF có

\(\hat{OAE}=\hat{OCF}\) (hai góc so le trong, AE//CF)

OA=OC

\(\hat{AOE}=\hat{COF}\) (hai góc đối đỉnh)

DO đó: ΔOAE=ΔOCF
=>OE=OF

=>O là trung điểm của EF

Xét tứ giác EGFH có

O là trung điểm chung của EF và GH

=>EGFH là hình bình hành

Sửa đề: AE=EF=FC. chứng minh BEDF là hình bình hành và DF=2FI

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: AE=EF=FC

mà \(AE+EF+FC=AC\)

nên \(AE=EF=FC=\frac{AC}{3}\)

AE+EO=AO

CF+FO=CO

mà AE=CF và AO=CO

nên OE=OF

=>O là trung điểm của EF

Xét tứ giác BEDF có

O là trung điểm chung của BD và EF

=>BEDF là hình bình hành

\(CF=\frac13CA\)

\(CO=\frac12CA\)

Do đó: \(CF=\frac23CO\)

Xét ΔCDB có

CO là đường trung tuyến

\(CF=\frac23CO\)

Do đó: F là trọng tâm của ΔCDB

Xét ΔCDB có

F là trọng tâm

DF cắt BC tại I

Do đó: I là trung điểm của BC

Xét ΔDBC có

F là trọng tâm

DI là đường trung tuyến

Do đó: DF=2FI

1: Xét ΔABM và ΔADN có

AB=AD

\(\hat{ABM}=\hat{ADN}\) (ABCD là hình thoi)

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

=>\(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

2: Sửa đề: Chứng minh tứ giác APCQ là hình thoi

Ta có: ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAC}=\hat{DAC}\)

=>\(\hat{BAM}+\hat{CAM}=\hat{DAN}+\hat{CAN}\)

mà \(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

nên \(\hat{CAM}=\hat{CAN}\)

=>AC là phân giác của góc MAN

=>AC là phân giác của góc PAQ

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình thoi

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC⊥BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABP và ΔADQ có

\(\hat{BAP}=\hat{DAQ}\)

AB=AD

\(\hat{ABP}=\hat{ADQ}\) (ΔABD cân tại A)

Do đó: ΔABP=ΔADQ

=>BP=DQ

Ta có: BP+PO=BO

QD+QO=OD

mà BP=QD và BO=OD

nên OP=OQ

=>O là trung điểm của PQ

Xét tứ giác APCQ có

O là trung điểm chung của AC và PQ

=>APCQ là hình bình hành

Hình bình hành APCQ có AC⊥PQ

nên APCQ là hình thoi

a) AE=FC

AB=CD

=> DF=EB

AD=BC

góc ADF=EBC

=> tam giác ADF = CBE ( c-g-c)

=> AF=EC

giải giúp câu c

Xét tam giác ABD:

E là trung điểm AB (gt).

H là trung điểm AD (gt).

\(\Rightarrow\) EH là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) EH // BD; EH = \(\dfrac{1}{2}\) BD (Tính chất đường trung bình). (1)

Xét tam giác CBD:

F là trung điểm BC (gt).

G là trung điểm CD (gt).

\(\Rightarrow\) FG là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) FG // BD; FG = \(\dfrac{1}{2}\) BD (Tính chất đường trung bình). (2)

Xét tamgiacs ACD:

H là trung điểm AD (gt).

G là trung điểm CD (gt).

\(\Rightarrow\) HG là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) HG // AC (Tính chất đường trung bình).

Mà AC \(\perp\) BD (Tứ giác ABCD là hình thoi). 

\(\Rightarrow\) HG \(\perp\) BD.

Lại có: EH // BD (cmt).

\(\Rightarrow\) EH \(\perp\) HG.

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EH // FG; EH = FG.

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình bình hành (dhnb).

Mà EH \(\perp\) HG (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác ABCD là hình thoi (gt). 

\(\Rightarrow\) AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường (Tính chất hình thoi).

Mà I là giao điểm của AC và BD (gt.)

\(\Rightarrow\) I là trung điểm của AC và BD.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right).\\IB=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.10=5\left(cm\right).\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABI: AI \(\perp\) BI (AC \(\perp\) BD).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABI vuông tại I.

\(\Rightarrow S_{\Delta ABI}=\dfrac{1}{2}AI.IB=\dfrac{1}{2}.4.5=10\left(cm^2\right).\)

\(\perp\)

Câu 15: 

a: Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD
Do đó: EH là đường trung bình

=>EH//BD và EH=BD/2(1)

Xét ΔBCD có 

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của CD

Do đó: FG là đường trung bình

=>FG//BD và FG=BD/2(2)

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//AC

=>EF⊥BD

=>EF⊥EH

Từ (1) và (2) suy ra EH//FG và EH=FG

hay EHGF là hình bình hành

mà EF⊥EH

nên EHGF là hình chữ nhật

b: AI=AC/2=8/2=4(cm)

BI=BD/2=10/2=5(cm)

\(S_{AIB}=\dfrac{AI\cdot BI}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10\left(cm^2\right)\)