Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

a) ^COD=^O22 +^O32 =12 (^O1+^O2+^O3+^O4)=12 .180∘=90∘.

b) CD = CM + MD = CA + DB.

c) $AC.BD=MC.MD=O{M}^2$ (cố định).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

a) ^COD=^O22 +^O32 =12 (^O1+^O2+^O3+^O4)=12 .180∘=90∘.

b) CD = CM + MD = CA + DB.

c) $AC.BD=MC.MD=O{M}^2$ (cố định).

a: Xét (O) có

CA,CE là tiếp tuyến

nên CA=CE và OC là phân giác của góc AOE(1)

Xét (O) có

DE,DB là tiếp tuyến

nên DE=DB và OD là phân giác của góc EOB(2)

CE+ED=CD

=>CD=CA+DB

b: Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: CA=CE

OA=OE

Do đó: CO là trung trực của AE

DE=DB

OE=OB

Do đó: DO là trung trực của EB

Xét tứ giác EIOK có

góc EIO=góc EKO=góc IOK=90 độ

nên EIOK là hình chữ nhật

https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-thu-vao-lop-10-mon-toan-lan-3-phong-gddt-gia-loc-2016-c31a28113.html

A B O C D E M H K

a)Ta có: EA \(\perp\)AB (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{OAE}=90^0\)

       OD \(\perp\)EC (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{ODE}=90^0\)

Xét t/giác AODE có \(\widehat{OAE}+\widehat{ODE}=90^0+90^0=180^0\)

=> t/giác AODE nt đường tròn (vì tổng 2 góc đối diện  = 180⁰)

b) Xét \(\Delta\)EKD và \(\Delta\)EDB

có: \(\widehat{BED}\):chung

 \(\widehat{EDK}=\widehat{EBK}=\frac{1}{2}sđ\widebat{KD}\)

 => \(\Delta\)EKD ∽ \(\Delta\)EDB (g.g)

=> \(\frac{ED}{EB}=\frac{EK}{ED}\)=> ED² = EK.EB (1)

Ta có: AE = ED (t/c 2 tt cắt nhau) => E thuộc đường trung trực của AD

 OA = OD = R => O thuộc đường trung trực của AD
=> EO là đường trung trực của ED => OE \(\perp\)AD

Xét \(\Delta\)EDO vuông tại D có DH là đường cao => ED² = EK.EB (2)

Từ (1) và (2) => EH.EO = DK.EB => \(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)

Xét tam giác EHK và tam giác EBO

có: \(\widehat{OEB}\): chung

 \(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)(cmt)

=> tam giác EHK ∽ tam giác EBO (c.g.c)

=> \(\widehat{EHK}=\widehat{KBA}\)

c) Ta có: OM // AE (cùng vuông góc với AB) => \(\frac{OM}{AE}=\frac{MC}{EC}\)(hq định lí ta-lét)

=> OM.EC = AE.MC

Ta lại có: \(\frac{EA}{EM}-\frac{MO}{MC}=\frac{EA.MC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{MO.EC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{OM.MC}{EM.MC}=\frac{OM}{EM}\)

Mặt khác: OM // AE => \(\widehat{MOE}=\widehat{OEA}\)(slt)

mà \(\widehat{AEO}=\widehat{OEM}\)(t/c 2 tt cắt nhau)

=> \(\widehat{MOE}=\widehat{MEO}\) => tam giác OME cân tại M => OM = ME

=> \(\frac{OM}{EM}=1\)

=> \(\frac{EA}{EM}-\frac{OM}{MC}=1\)

Hình tự vẽ nha

a) Vì A,B,D thuộc ( O; AD/2 ) 

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^0\)

Vì \(EF\perp AD\Rightarrow\widehat{EFA}=90^0\)

Xét tứ giác  ABEF có góc \(\widehat{ABE}=\widehat{AFE}=90^0\)

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác ABEF

\(\Rightarrow ABEF\)nội tiếp ( dhnb )

b)  Vì A,C,D thuộc ( O; AD/2 ) 

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=90^0\) 

Xét tứ giác EFDC có: \(\widehat{ECD}=\widehat{EFD}=90^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác EFDC

\(\Rightarrow EFDC\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{EDF}\)( cùng chắn cung EF )

Lại có: \(\widehat{BCA}=\widehat{BDA}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{ACF}\)

=> AC là phân giác góc BCF