Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
a: Để \(x^2+3x\) là số chính phương thì \(x^2+3x=k^2\left(k\in N\right)\)
=>\(4x^2+12x=4k^2\)
=>\(4x^2+12x+9=4k^2+9\)
=>\(\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)
=>(2k+3-2k)(2k+3+2k)=9
=>(2x+3-2k;2x+3+2k)∈{(1;9);(9;1);(-1;-9);(-9;-1);(3;3);(-3;-3)}
TH1: 2x+3-2k=1 và 2x+3+2k=9
=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9
=>4x+6=10
=>4x=4
=>x=1(nhận)
TH2: 2x+3-2k=9 và 2x+3+2k=1
=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9
=>4x+6=10
=>4x=4
=>x=1(nhận)
TH3: 2x+3-2k=-1 và 2x+3+2k=-9
=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9
=>4x+6=-10
=>4x=-16
=>x=-4(nhận)
TH4: 2x+3-2k=-9 và 2x+3+2k=-1
=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9
=>4x+6=-10
=>4x=-16
=>x=-4(nhận)
TH5: 2x+3-2k=3 và 2x+3+2k=3
=>2x+3-2k+2x+3+2k=3+3
=>4x+6=6
=>4x=0
=>x=0(nhận)
TH6: 2x+3-2k=-3 và 2x+3+2k=-3
=>2x+3-2k+2x+3+2k=-3-3
=>4x+6=-6
=>4x=-12
=>x=-3(nhận)
b: Đặt \(x^2+x+6=k^2\left(k\in Z\right)\)
=>\(4x^2+4x+24=4k^2\left(k\in Z\right)\)
=>\(4x^2+4x+1+23-4k^2=0\)
=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-23\)
=>(2x+1-2k)(2x+1+2k)=-23
=>(2x+1-2k;2x+1+2k)∈{(1;-23);(-23;1);(-1;23);(23;-1)}
TH1: 2x+1-2k=1 và 2x+1+2k=-23
=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23
=>4x+2=-22
=>4x=-24
=>x=-6(nhận)
TH2: 2x+1-2k=-23 và 2x+1+2k=1
=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23
=>4x+2=-22
=>4x=-24
=>x=-6(nhận)
TH3: 2x+1-2k=-1 và 2x+1+2k=23
=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23
=>4x+2=22
=>4x=20
=>x=5(nhận)
TH4: 2x+1-2k=23 và 2x+1+2k=-1
=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23
=>4x+2=22
=>4x=20
=>x=5(nhận)
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
2) \(x^4-x^2+2x+2\)
\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2+x\right)^2\)
Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x
2.
a.
\(x^2+3x=k^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+12x=4k^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+12x+9=4k^2+9\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3-2k\right)\left(2x+3+2k\right)=9\)
Vậy \(x=\left\{-4;-3;0;1\right\}\)
b. Tương tự
\(x^2+x+6=k^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2x+1\right)^2=23\)
\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=23\)
Em tự lập bảng tương tự câu trên
1.
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=-4y^2+y+1\)
\(\Leftrightarrow-4y^2+y+1=\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow-64y^2+16y+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(8y-1\right)^2\le17\)
\(\Rightarrow\left(8y-1\right)^2\le16\)
\(\Rightarrow-4\le8y-1\le4\)
\(\Rightarrow-\dfrac{3}{8}\le y\le\dfrac{5}{8}\)
\(\Rightarrow y=0\)
Thế vào pt ban đầu:
\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(1;0\right)\)