Thực hiện phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta được

\(x^4-9x^3+21x^2+x+a=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-8x+15\right)+a+30\)

Do đó dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) là \(a+30\).

a) Với \(a=-100\) dư của phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là \(-100+30=-70\).

b) Để \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(g\left(x\right)\) thì \(a+30=0\Leftrightarrow a=-30\).

-Áp dụng định lí Bezout:

\(P\left(-1\right)=\left(-1\right)^4-6.\left(-1\right)^3+7.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\)

\(\Rightarrow1+6+7-a+b=0\)

\(\Rightarrow a-b=14\left(1\right)\)

\(P\left(-2\right)=\left(-2\right)^4-6.\left(-2\right)^3+7.\left(-2\right)^2+a.\left(-2\right)+b=0\)

\(\Rightarrow16+48+28-2a+b=12\)

\(\Rightarrow2a-b=80\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(a=66;b=52\)

\(f\left(x\right)=6x^4-7x^3+a\cdot x^2+3x+2\)

\(=6x^4-6x^3+6b\cdot x^2+\left(a-6b\right)x^2-\left(a-6b\right)x+\left(ab-6b^2\right)\) +(3+a-6b)x+2-ab+6b^2

=(x^2-x+b)(6x^2+a-6b)+(3+a-6b)x+2-ab+6b^2

Để f(x)⋮g(x) thì 3+a-6b=0 và 2-ab+6b^2=0

=>a=6b-3 và 6b^2-b(6b-3)+2=0

=>a=6b-3 và 3b+2=0

=>b=-2/3; a=6b-3=6*(-2/3)-3=-4-3=-7

\(f\left(x\right)=6x^4-7x^3+a\cdot x^2+3x+2\)

\(=6x^4-6x^3+6b\cdot x^2+\left(a-6b\right)x^2-\left(a-6b\right)x+\left(ab-6b^2\right)\) +(3+a-6b)x+2-ab+6b^2

=(x^2-x+b)(6x^2+a-6b)+(3+a-6b)x+2-ab+6b^2

Để f(x)⋮g(x) thì 3+a-6b=0 và 2-ab+6b^2=0

=>a=6b-3 và 6b^2-b(6b-3)+2=0

=>a=6b-3 và 3b+2=0

=>b=-2/3; a=6b-3=6*(-2/3)-3=-4-3=-7