Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)
\(6\sqrt{55}\) là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa \(\sqrt{55}\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\) với \(a,b\in N\)
\(\Rightarrow a+b=6\)
Xét các TH:
a = 0 => b = 6
a = 1 => b = 5
a = 2 => b = 4
a = 3 => b = 3
a = 4 => b = 2
a = 5 => b = 1
a = 6 => b = 0
Từ đó dễ dàng tìm đc x, y
Bài 3:( t chỉ làm bừa thôi)
Có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}=6\sqrt{55}\)
Vì x,y nguyên nên \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) đồng dạng với \(6\sqrt{55}\)
Vì \(\sqrt{x},\sqrt{y}\ge0\) nên có các trường hợp sau:
Tại: \(\sqrt{x}=0\) hay x=0 thì \(\sqrt{y}=6\sqrt{55}\) hay y=\(1980\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{55}\) hay x=55thì \(\sqrt{y}=5\sqrt{55}\) hay y=1375
\(\sqrt{x}=2\sqrt{55}\) hay x=220 thì \(\sqrt{y}=4\sqrt{55}\) hay y=880
\(\sqrt{x}=3\sqrt{55}\) hay x=495 thì \(\sqrt{y}=3\sqrt{55}\) hay y=495
Tương tự như vậy ta cũng thu được các cặp (x,y) t/m (880,220),(1375,55),(1980,0)
Vậy pt có nghiệm (x,y)\(\in\)\(\left\{\left(0,1980\right),\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right),\left(880,220\right),\left(1375,55\right),\left(1980,0\right)\right\}\)
Bài 3:
Xét phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)
Vì x, y nguyên và x, y vai trò như nhau
Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) có dạng \(\sqrt{x}=a\sqrt{55},\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)
với \(a+b=6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\) hoặc
\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N,a\le b\right)\)
Vậy nghiệm nguyên dương cần tìm là:
\(\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right)\)
Bài 5:
Vì d là ước nguyên dương của \(2n^2.\)
\(\Rightarrow2n^2=kd.\)
\(\Rightarrow d=\frac{2n^2}{k}\forall\) \(k\in N.\)
Giả sử \(n^2+d=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2+\frac{2n^2}{k}=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2\)
\(\Leftrightarrow n^2.\left(k^2+2k\right)=\left(ak\right)^2\)
\(\Rightarrow\) Vô lí vì \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\) nên không là số chính phương.
\(\Rightarrow\) Giả sử là sai.
\(\Rightarrow n^2+d\) không phải là số chính phương (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
Mọi người ko giải đi mà cứ để mình nghĩ ra thế này :(
Bài 4:
\(P=\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}=\frac{a^2b^2c^2-abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-1}{abc}\)
\(=abc-\left(a+b+c\right)+\frac{ab+bc+ca-1}{abc}\)
Để P nhận giá trị nguyên thì \(ab+bc+ca-1⋮abc\)
\(\Rightarrow abc\le ab+bc+ca-1\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a\le b\le c\)
\(abc\le ab+bc+ca-1< ab+bc+ca< 2ac+bc=c\left(2a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab< 2a+b\le3b\)
\(\Leftrightarrow a< 3\Rightarrow a\in\left\{1;2\right\}\)
+) Xét \(a=1\) ta có :
\(b+c+bc-1⋮bc\)
\(\Leftrightarrow b+c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le b+c-1\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=1\end{matrix}\right.\) ( vì \(b,c\) nguyên dương )
Khi đó ta có \(P=0\) ( thỏa )
Ta có \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
+) Xét \(a=2\)
\(2\left(b+c\right)+bc-1⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4\left(b+c\right)+2bc-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4b+4c-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow2b+2c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le2b+2c-1\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\in\left\{0;1;2;3\right\}\)
TH1: \(\left(b-2\right)\left(c-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(c=2\Rightarrow b=2\). Khi đó \(P=\frac{27}{8}\) ( loại )
Nếu \(b=2\Leftrightarrow P=\frac{3\left(2c-1\right)^2}{4c}\notin Z\)
TH2, TH3, TH4 tương tự.
p/s: chợt nhận đây là đề chuyên toán KHTN vòng 2 2008-2009. Đọc qua rồi mà quên mất :(
Bài 2:Vì \(2^m+3^n\)là số chính phương nên giả sử \(2^m+3^n=a^2\)
Nếu m lẻ thì \(2^m\equiv-1\equiv2\left(mod3\right)\)và \(3^n⋮3\)\(\Rightarrow a^2\)chia 3 dư 2(Vô lí vì mọi SCP chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
Nếu m chẵn , đặt m = 2k(\(k\in N\))
\(\Rightarrow2^{2k}+3^n=a^2\)
\(\Rightarrow3^n=\left(a-2^k\right)\left(a+2^k\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2^k=3^i\\a+2^k=3^j\\i+j=n\end{matrix}\right.\left(i,j\in N\right)\)
\(\Rightarrow3^j-3^i=2^{k+1}\)
Do 2^(k+1) không chia hết cho 3 nên phải có i = 0=>j=n
\(\Rightarrow3^n-1=2^{k+1}\).Nếu k=0=>n=1,m=0
Nếu k>0
\(\Rightarrow3^n=2^{k+1}+1\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow n\)chẵn
Với n = 2t
\(\Rightarrow\left(3^t-1\right)\left(3^t+1\right)=2^{k+1}\)
Vì \(\left(3^t-1;3^t+1\right)=2\)và \(3^t+1>3^t-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^t-1=2\\3^t+1=2^k\end{matrix}\right.\)
=>t=>n=>m
Khá mỏi tay
\(\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{8}{73}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8k\\a^2-ab+b^2=73k\end{matrix}\right.\left(k\text{ }nguyên\text{ }dương\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2ab+b^2=64k^2\\4a^2-4ab+4b^2=292k\end{matrix}\right.\Rightarrow292k\ge64k^2\Leftrightarrow k\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
\(+,k=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8\\\left(a+b\right)^2-3ab=73\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=-3\\a+b=8\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
tương tự
Câu 8 đây nha cu svtkvtm
Ta có:
\(a+b^2=k\left(a^2b-1\right)\)(k nguyên dương)
\(\Leftrightarrow b^2-ka^2b+a+k=0\)
Để phương trình theo ẩn b có nghiệm nguyên thì:
\(\Delta=k^2a^4-4\left(a+k\right)=x^2\)(với x là số nguyên)
Xét \(a,k\ge2\)
\(\Rightarrow\left(ka^2-2\right)^2< k^2a^4-4\left(a+k\right)< k^2a^4\)
\(\Leftrightarrow k^2a^4-4\left(a+k\right)=\left(ka^2-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2ka^2-4a-4k-1=0\)
Xét \(a=1,a=2;k>0\)
Xét \(k=1,k=2;a>0\)
Bài 7.
Nhẹ nhàng khởi động 10 bài trong 400 bài Phương phải làm trong 2 tuần :) Sắp hết tuần 2 mà mới làm được 167 bài :v Mọi người giúp em với, đầu tháng 1 đi chiến đấu rồi. @@
À, ai làm được câu nào cứ làm nhé, xin ad tặng 2GP mỗi câu :)
@Nguyễn Việt Lâm help
Bài1(sưu tầm)
Ta thấy \(r>2\Rightarrow r\) lẻ
Tồn tại trong hai số p,q một số lẻ và một số chẵn.Không mất tính tổng quát giả sử p chẵn và q lẻ => $p=2&
Ta có: \(2^q\)+\(q^2\)=r là số nguyên tố
+) Xét q=3 thỏa mãn
+) Xét q không chia hết cho 3=> \(q^2\) chia 3 dư 1
+) Xét q=3k+1(kϵN). Vì q lẻ nên k chẵn
Ta có: \(2^q+q^2=2^{3k+1}+q^2=8^k.2+q^2\)
Vì k
chẵn nên \(8^k\)chia 3 dư 1=>\(8^k\).2+\(q^2\) chia hết cho 3=> r chia hết cho 3=> r=3(vô lý) tương tự với q=3k+2 nhưng lần này k lẻ
Bài 3
https://diendantoanhoc.net/topic/88466-sqrtxsqrtysqrt1980/
Mình cần lời giải từ suy nghĩ, tư duy của bạn cơ, chứ còn tìm trên mạng thiếu gì. :) Xin phép delete nhé.
tỉnh nào vậy
Võ Hồng Phúc Hải Dương bạn.
t nghĩ là \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) có chứa \(\sqrt{55}\) đúng hơn chứ nhỉ
Trần Thanh Phương hải dương ạ? quê em đó :))))
HISINOMA KINIMADO nao a đỗ chuyên thì làm chầu trà sữa bao full ae Hải Dương lun :3 làm một buổi offline giao lưu @@
Lê Thị Thục Hiền đúng làm bừa có khác :) nhớ bài này không \(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\). T làm giống bà xong cô bảo sai đó, bình phương rồi dùng tính chất số hữu tỉ - số vô tỉ. But bài trên vẫn chưa làm được :D
Trần Thanh Phương chuyên toán đúng k ạ? :))
HISINOMA KINIMADO đúng r :D
Lê Thị Thục Hiền mai mik lm vài bài nx cho......giờ nhìn thấy toán hơi ngấy
Trần Thanh Phương tag lộn.......mai lm típ cho.....còn sớm..............srryLê Thị Thục Hiền
No choice teen: tại sao \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) lại có dạng như vậy mà không phải dạng khác ? Lí giải được thì mình biếu 1GP.
p/s: Cách giải na ná Lê Thị Thục Hiền :v nhưng ko hiểu sao t thấy có phần hợp lý hơn :)
Xin giải bài 10:
\(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4^y\)
+) Xét \(y=0\)
\(pt\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=1\)
Mà \(x\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\in Z\\x^2+1\in Z^+\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)
Ta có \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
+) Xét \(y>0\Leftrightarrow4^y\) chẵn
Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x+1⋮2\\x^2+1⋮2\end{matrix}\right.\)Suy ra x lẻ.
Đặt \(x=2k+1\left(k\in Z\right)\)
\(pt\Leftrightarrow\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^{y-1}\)
Vì \(2k^2+2k+1\) lẻ nên \(k=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right)\right\}\)
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên học đi con :))
Là CTV chắc cũng không cần GP đâu nhỉ :>
Không biết nữa. Trần Thanh Phương
tại sao 2k2+2k+1 lẻ mà k=0( giải thích hộ cái ông ơi)