😑😐🙌🏿👐🏿🤲🏿🤜🏿🤛🏿✊🏿👊🏿👋🏿🤚🏿👉🏿👈🏿🖖🏿🤟🏿🤘🏿✌🏿🤞🏿🤙🏿👌🏿☝🏿👆🏿👇🏿🖕🏿🙏🏿

Cho \(p\) là số nguyên tố và \(8p-1,\ 8p+1\) là các số nguyên tố. Hỏi số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?

Giải:

Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\geq2\).

Suy ra \(8p\geq16\) và \(8p=8\cdot p\).

Do \(8>1,\ p>1\) nên \(8p\) là hợp số.

Vậy số thứ ba \(8p\) là hợp số.

Tìm số tự nhiên \(k\) để dãy \(k+1,k+2,\ldots,k+10\) chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Giải:

Trong 10 số tự nhiên liên tiếp có:

- 5 số chẵn, trong đó chỉ có thể có một số nguyên tố là 2.

- Các số chia hết cho 3, 5 cũng không thể là số nguyên tố nếu lớn hơn 3 và 5.

Để có nhiều số nguyên tố nhất, ta cần chọn dãy sao cho các số nguyên tố nhỏ như 2, 3, 5 có thể xuất hiện và các số còn lại không chia hết cho 2, 3, 5.

Tuy nhiên, cần xét các giá trị cụ thể của \(k\) để tìm số lượng lớn nhất.

Xét \(k=1\), ta có dãy:

\(2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11\).

Dãy này có 5 số nguyên tố là \(2,3,5,7,11\).

Không thể có 6 số nguyên tố vì trong 10 số liên tiếp có 5 số chẵn, mà chỉ có một số chẵn là số nguyên tố (số 2). Trong 5 số lẻ luôn có ít nhất một số chia hết cho 3; nếu số đó lớn hơn 3 thì là hợp số.

Vậy dãy chứa nhiều nhất 5 số nguyên tố khi \(k=1\).

Đáp số: \(k=1\).

a) Tìm số nhỏ nhất \(A\) có 6 ước.

Ta có:

\(12=2^2\cdot3\).

Số ước của 12 là:

\((2+1)(1+1)=6\).

Các số nhỏ hơn 12 không có 6 ước.

Vậy số nhỏ nhất có 6 ước là \(A=12\).

b) Tìm số nhỏ nhất \(A\) có 9 ước.

Ta có:

\(36=2^2\cdot3^2\).

Số ước của 36 là:

\((2+1)(2+1)=9\).

Các số nhỏ hơn 36 không có 9 ước.

Vậy số nhỏ nhất có 9 ước là \(A=36\).

Chứng minh rằng \((p-1)!\) chia hết cho \(p\) nếu \(p\) là hợp số, không chia hết cho \(p\) nếu \(p\) là số nguyên tố.

Chứng minh:

- Nếu \(p\) là số nguyên tố:

Vì \(p\) là số nguyên tố nên các số \(1,2,\ldots,p-1\) đều không chia hết cho \(p\).

Do đó tích \((p-1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(p-1)\) không chia hết cho \(p\).

- Nếu \(p\) là hợp số và \(p>4\):

Ta có thể viết \(p=a\cdot b\), với \(1<a\leq b<p\).

Nếu \(a<b\), thì \(a,b\) đều xuất hiện trong tích \((p-1)!\).

Suy ra \(p=a\cdot b\) chia hết \((p-1)!\).

Nếu \(a=b\), thì \(p=a^2\). Vì \(p>4\) nên \(a\geq3\).

Khi đó \(a\) và \(2a\) đều nhỏ hơn \(p\), nên đều xuất hiện trong tích \((p-1)!\).

Mà \(a\cdot2a=2p\), suy ra \(p\) chia hết \((p-1)!\).

Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi hợp số \(p>4\).

Lưu ý: Đề bài thiếu điều kiện \(p\ne4\), vì \(3!=6\) không chia hết cho 4.

Đề bài có thể là \(2^m-1\) (số 2 mũ m trừ 1). Nếu đúng là vậy, ta chứng minh như sau:

Chứng minh:

Giả sử \(m\) là hợp số.

Khi đó \(m=a\cdot b\), với \(a,b>1\).

Ta có:

\(2^m-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1\)

Vì \(b>1\), áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lũy thừa:

\((2^a)^b-1=(2^a-1)[(2^a)^{b-1}+\ldots+2^a+1]\).

Suy ra \(2^m-1\) là hợp số.

Điều này trái với giả thiết \(2^m-1\) là số nguyên tố.

Vậy \(m\) phải là số nguyên tố.

Chứng minh rằng \(2002!-1\) có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 2002.

Chứng minh:

Gọi \(p\) là một ước số nguyên tố của \(2002!-1\).

Giả sử \(p\leq2002\).

Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\) xuất hiện trong tích:

\(2002!=1\cdot2\cdot3\cdots2002\).

Suy ra \(2002!\) chia hết cho \(p\).

Mặt khác, \(p\mid(2002!-1)\).

Do đó \(p\mid[2002!-(2002!-1)]\).

Hay \(p\mid1\), điều này vô lý.

Vậy \(p>2002\).

Suy ra mọi ước số nguyên tố của \(2002!-1\) đều lớn hơn 2002. (ĐPCM)

a) Tìm \(n\) là số tự nhiên khác 0 để \(n^4+4\) là số nguyên tố.

Chứng minh:

Ta có hằng đẳng thức:

\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=(n^2+2)^2-(2n)^2\)

\(=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\).

Nếu \(n>1\) thì:

- \(n^2-2n+2=(n-1)^2+1>1\).

- \(n^2+2n+2>1\).

Do đó \(n^4+4\) là hợp số.

Với \(n=1\), ta có \(n^4+4=5\) là số nguyên tố.

Vậy \(n=1\).

b) Tìm \(n\) là số tự nhiên khác 0 để \(n^{2003}+n^{2002}+1\) là số nguyên tố.

Chứng minh:

Ta có:

\(n^{2003}+n^{2002}+1=n^{2002}(n+1)+1\).

Nếu \(n\) chia cho 3 dư 2 thì \(n+1\) chia hết cho 3 và \(n^{2003}+n^{2002}+1\) chia hết cho 3.

Nếu \(n>2\) và \(n\) chia cho 3 dư 2 thì biểu thức lớn hơn 3, do đó là hợp số.

Mặt khác, nếu \(n\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1 thì chưa thể kết luận ngay là hợp số.

Ta xét tính chẵn lẻ:

- Nếu \(n\) chẵn thì \(n^{2003}+n^{2002}+1\) là số lẻ.

- Nếu \(n\) lẻ thì \(n^{2003}+n^{2002}+1\) là số lẻ.

Ta thử các giá trị nhỏ:

- \(n=1\): \(1+1+1=3\), là số nguyên tố.

- \(n=2\): \(2^{2003}+2^{2002}+1\) là số lẻ và không chia hết cho 3; chưa thể kết luận là hợp số chỉ bằng xét chia hết cho 3.

Lưu ý: Câu b cần thêm một bước phân tích hoặc điều kiện khác. Với biểu thức đã cho, không thể kết luận chỉ từ các trường hợp chia hết cho 3.

Cho \(a,b,c,d\in\mathbb N^*\) thỏa mãn \(ab=cd\). Chứng minh rằng số \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\) là hợp số với mọi số tự nhiên \(n\).

Chứng minh:

Ta có \(ab=cd\).

Suy ra:

\(a^n b^n=c^n d^n\).

Do đó:

\(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)

\(=(a^n+c^n)+(b^n+d^n)\).

Tuy nhiên, từ \(ab=cd\) chưa đủ để chứng minh tổng này luôn là hợp số.

Đề bài có thể bị thiếu điều kiện hoặc sai cách ghi. Chẳng hạn, lấy \(a=b=c=d=1\), ta có \(A=4\), là hợp số, nhưng với \(a=1,b=4,c=2,d=2\), ta có \(ab=cd=4\), và khi \(n=1\), \(A=9\), vẫn hợp số. Cần kiểm tra lại đề để có lời giải chính xác.

Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(2p+1\) chia hết cho \(p\).

Chứng minh:

Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p>0\).

Theo đề bài, ta có:

\(2p+1\) chia hết cho \(p\).

Mà \(2p\) chia hết cho \(p\), suy ra:

\((2p+1)-2p=1\) chia hết cho \(p\).

Do đó \(p=1\), nhưng 1 không phải là số nguyên tố.

Vậy không tồn tại số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đề bài.