Bài 1:
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ:a₁,a₂,a,₃...,a_10.Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Bài 2:
Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đêm cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được 1 tổng.Chứng minh rằng trong các tổng nhận được ,bao giờ cũng tìm ra 2 tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có chia hết cho 2 không.

b) Chứng tỏ rằng với hai số tự nhiên bất kỳ khi chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m và ngược lại.

c) Chứng tỏ rằng với 6 số tự nhiên bất kỳ luôn có ít nhất hai số tự nhiên mà hiệu của chúng chia hết cho 5.

d) Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

e) Chứng tỏ rằng tổng của 2 số chẵn  liên tiếp luôn chia hết cho 8.

g) Cho 4 số tự nhiên không chia hết chia hết cho 5 , khi chia cho 5 được những số dư kháu nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5.

h) Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia 9 thì dư 1.

Bài 1 Chứng minh rằng 17^5 + 24^4 - 13^21 chia hết cho 10

Bài 2 Cho A bằng { (1 + 2+ 3 + .. . + n ) - 7 } . Hỏi A có chia hết cho 10 không ?

Bài 3 Tìm chữ số tận cùng của 5^ n (n>1)

Bài 4 Chứng minh rằng 

a Trong ba số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

b Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4

c Trong năm số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 5