Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
b) với mọi a,b,c ϵ R và x,y,z ≥ 0 có :
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)\)
Dấu ''='' xảy ra ⇔\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Thật vậy với a,b∈ R và x,y ≥ 0 ta có:
\(\frac{a^2}{x}=\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\left(2\right)\)
⇔\(\frac{a^2y}{xy}+\frac{b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
⇔\(\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
⇔\(\frac{a^2y+b^2x}{xy}.\left(x+y\right)xy\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\left(x+y\right)xy\)
⇔\(\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge\left(a+b\right)^2xy\)
⇔\(a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\)
⇔\(b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)
⇔\(\left(bx-ay\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
Áp dụng BĐT (2) có:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Dấu ''='' xảy ra ⇔\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}
\)
= \(\frac{1}{a^2}.\frac{1}{ab+ac}+\frac{1}{b^2}.\frac{1}{bc+ac}+\frac{1}{c^2}.\frac{1}{ac+bc}\)
=\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ab}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT (1) ta có:
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ab}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}++\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
Mà abc=1⇒\(\left\{{}\begin{matrix}ab=\frac{1}{c}\\bc=\frac{1}{a}\\ac=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{1}}=3\)( BĐT cosi )
⇒\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
⇒\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(VT=\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\)
\(=3+\frac{6abc}{abc}\)
\(\Rightarrow9\le10\left(đpcm\right)\)
P/s: Còn cách dài dòng hơn nhé
\(VT=\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\)
\(=3+\frac{6abc}{abc}\)
\(\Rightarrow9\le10\left(đpcm\right)\)
a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.
d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c
e,Xét hiệu :
\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\) => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.
=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM
Bài 1:
\(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{Ax-2A+Bx-B}{x^2-3x+2}=\frac{\left(A+B\right)x-\left(2A+B\right)}{x^2-3x+2}\)
so sách với tử số vừa tìm dc với đề bài:
=> A+B=1
2A+B=-2
=>(2A+B)-(A+B)=-2-1
A=-3
=> B=1+3=4
b) sửa đề \(\frac{A}{x-1}+\frac{\left(Bx+C\right)}{x^2+1}=\frac{A}{x-1}+\frac{\left(Bx+C\right)}{x^2+1}\)
=> \(\frac{A}{x-1}+\frac{\left(Bx+C\right)}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)
\(=\frac{Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(C-B\right)x+\left(A-C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)
so sánh với tử số bên cạnh là \(x^2+2x-1\)
=>\(A+B=1\)
\(C-B=2\)
\(A-C=-1\)
=> \(A=1,B=0,C=2\)
bài 2:
quy đồng hai hạng tử đầu tiên:
=> \(\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}=\frac{x\left(1-y^2\right)+y\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=\frac{\left(x+y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)
từ xy+yz+xz=1=> 1-xy=z(x+y) thay vào biểu thức vừa tìm dc ta có:
\(\frac{\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=\frac{z\left(x+y\right)^2}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)
\(VT=\frac{z\left(x+y\right)^2}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}+\frac{z}{1-z^2}=z\left\lbrace\frac{\left(x+y\right)^2\left(1-z^2\right)+\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}\right)\)
ta có:
\(\left(x+y\right)^2-z^2\left(x+y\right)^2+1-x^2-y^2+x^2y^2\)
=\(\left(x^2+2xy+y^2\right)-z^2\left(x+y\right)^2+1-x^2-y^2+x^2y^2\)
=\(\left(1+xy\right)^2-z^2\left(x+y\right)^2=\left(1+xy-xz-yz\right)\left(1+xy+xz+yz\right)\)
=\(4xy\)
thay vào biểu thức ban đầu:
\(z\cdot\frac{4xy}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}=\frac{4xyz}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}\left(đpcm\right)\)
bài 3:
xếp hạng tổng k của dãy số:
\(a_{k}=\frac{k}{k^4+k+1}\)
=> \(a_{k}=\frac12\left\lbrace\frac{\left(k^2+k+1\right)-\left(k^2-k+1\right)}{\left(k^2-k+1\right)\left(k^2+k+1\right)}\right\rbrace=\frac12\left(\frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{k^2+k+1}\right)\)
thay k=1,2,3,4,...,n)
=> \(S=\frac12\left\lbrace\left(\frac11-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n^2-n+1}-\right.\frac{1}{n^2+n+1}\right)\) S=\(\frac12\left(1-\frac{1}{n^2+n+1}\right)\)
\(S=\frac{n\left(n+1\right)}{2\left(n^2+n+1\right)}\)
Em mới lớp 7 nên chỉ biết giải bài 2 thôi
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{c+b-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{a+c-b}{b}+2=\frac{c+b-a}{a}+2\)
\(=\frac{a+b}{c}-1+2=\frac{a+c}{b}-1+2=\frac{c+b}{a}-1+2\)
\(=\frac{a+b}{c}+1=\frac{a+c}{b}+1=\frac{c+b}{a}+1\)
\(=\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
\(\Rightarrow a=b=c\) Thao vào P ta được :
\(P=\frac{\left(a+a\right)\left(a+a\right)\left(a+a\right)}{a^3}=\frac{2a.2a.2a}{a^3}=\frac{8a^3}{a^3}=8\)
1
xét hiệu \(x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\)
tự lập luộn nha \(\Rightarrow x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c