1) Có \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}\end{matrix}\right.\rightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}\right)+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\) Do đó : \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\left(=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\right)\)

2) Có : \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OE}\left(1\right)\\\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) + (2) => \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OE}-2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}\)

3) \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AO}\)

4) Ta có : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}\)

1: MC=2MB

MC+MB=BC

Do đó: BC=2MB+BM=3BM

=>\(BM=\frac13BC\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac13\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac13\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

2: Xét ΔMAC có MD là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MD}=\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AC}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left(-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

3: \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AM}}=\frac14:\frac13=\frac34\)

=>A,E,M thẳng hàng

Em ms hok cái này nên ko chắc lăm ạ :D

Theo quy tắc 3 điểm\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MN}\)

Có I là TĐ của BC\(\Rightarrow\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}=0\) (1)

Có I là TĐ của MN \(\Rightarrow\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{MN}=0\) (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrowđpcm\)

Hình vẽ:

Lời giải:

$E$ là trung điểm $BC$ nên:

$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{0}$ (2 vecto đối nhau)

$E$ là trung điểm của $MN$ nên:

$\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{0}$

(hai vecto đối nhau)

Từ đây ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE})=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AE}$

$=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NE}$

$=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{NE})$

$=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$

Ta có đpcm.

a: Xét ΔDBC có DM là đường cao

nên \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\cdot\overrightarrow{DM}\)

=>\(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-2\cdot\overrightarrow{DA}\)

=>\(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}+2\cdot\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}+\frac12\cdot\overrightarrow{MA}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}-\frac12\cdot\overrightarrow{AM}=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}-\frac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AC}-\frac14\cdot\overrightarrow{AB}-\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)