Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{4}x^2-mx-n=0\)

THeo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+n=2\\\left(-m\right)^2-4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\left(-n\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2-n\\m^2-n=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2-n\\n^2-4n+4-n=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\in\left\{1;4\right\}\\m\in\left\{1;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Để $(d)$ đi qua $A(-1;-2)$ thì: $-2=-m+n(1)$

Để $(d)$ và $(P)$ tiếp xúc nhau thì PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{4}x^2-mx-n=0$ có nghiệm duy nhất

Điều này xảy ra khi:

$\Delta=m^2+n=0(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow m=1$ hoặc $m=-2$

Nếu $m=1$ thì $n=-1$

Nếu $m=-2$ thì $n=-4$

Vậy............

1: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\frac14x^2=mx-2m-1\)

=>\(\frac14x^2+mx-2m-1=0\)

=>\(x^2+4m\cdot x-8m-4=0\)

\(\Delta=\left(4m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8m-4\right)\)

\(=16m^2+32m+16=16\left(m^2+2m+1\right)=16\left(m+1\right)^2\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ=0

=>m+1=0

=>m=-1

=>Hoành độ giao điểm là: \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4m}{2\cdot1}=-2m=-2\cdot\left(-1\right)=2\)

=>\(y=-\frac{x^2}{4}=-\frac{2^2}{4}=-1\)

=>Tọa độ giao điểm là A(2;-1)

3: (d): y=mx-2m-1

=m(x-2)-1

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

x-2=0 và y=-1

=>x=2 và y=-1

Để d đi qua A

\(\Leftrightarrow m.1+n=0\Rightarrow n=-m\Rightarrow y=mx-m\)

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d:

\(\frac{1}{2}x^2=mx-m\Leftrightarrow x^2-2mx+2m=0\) (1)

Để d tiếp xúc (P) \(\Leftrightarrow\) (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\Rightarrow n=0\\m=2\Rightarrow n=-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=n=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(0;0\right)\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\n=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=2\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(2;2\right)\)

1.

Đồ thị hàm số:

2. 

\(x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left(1;2\right)\)

\(x=2\Rightarrow y=8\Rightarrow B\left(2;8\right)\)

Phương trình đường thẳng AB:

\(6x-y-4=0\)

Vì \(\left(d\right)//\left(AB\right)\Rightarrow m=6\Rightarrow6x-y+n=0\left(AB\right)\)

Theo giả thiết \(\left(d\right)\) tiếp xúc với \(\left(P\right)\), phương trình hoành độ giao điểm:

\(6x+n=2x^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-6x-n=0\)

\(\Delta'=9+2n=0\Leftrightarrow n=-\dfrac{9}{2}\)

giúp mình với ạ