1. sa vg cd. cd vg ac. ac giao sa=a => cd vg (sac)

a: CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

b: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=1/2

=>góc SDA=27 độ

1.

Gọi O là giao điểm AC và BD, Q là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\\OQ\perp AB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SOQ\right)\)

Từ O kẻ \(OH\perp SQ\Rightarrow OH\perp\left(SAB\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SAB\right)\right)\)

\(OQ=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\) ; \(SO=\sqrt{SA^2-\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OQ^2}+\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac{14}{3a^2}\Rightarrow OH=a\sqrt{\dfrac{14}{3}}\)

\(d\left(P;\left(SAB\right)\right)=2d\left(O;\left(SAB\right)\right)=2OH=2a\sqrt{\dfrac{14}{3}}\)

2.

Câu này đề đúng ko nhỉ? Vì thấy quá nhiều dữ kiện thừa thãi.

Từ \(\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IH}\Rightarrow I;A;H\) thẳng hàng

Mà ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AI\perp BC\Rightarrow AH\perp BC\)

Từ K kẻ \(KP||BC\)  (P thuộc AH) \(\Rightarrow KP\perp AH\)

\(\left\{{}\begin{matrix}KP\in\left(SAB\right)\Rightarrow SH\perp KP\\KP\perp AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow KP\perp\left(SAH\right)\)

\(\Rightarrow KP=d\left(K;\left(SAH\right)\right)\)

\(KP=\dfrac{1}{2}IB\) (đường trung bình); \(IB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AB\sqrt{2}=a\Rightarrow KP=\dfrac{a}{2}\)

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Gọi $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ vì $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy.

Tính $SD$: $SD^2 = \left(\dfrac{a}{2}-0\right)^2 + (0-a)^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 + h^2 = \dfrac{5a^2}{4} + h^2$

Theo đề: $SD = \dfrac{a\sqrt{17}}{2} \Rightarrow SD^2 = \dfrac{17a^2}{4}$

=> $\dfrac{5a^2}{4} + h^2 = \dfrac{17a^2}{4} \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$

Trung điểm $K$ của $AD$: $K\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$

Xét hai đường thẳng:

- $SD$: có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -a\sqrt{3}\right)$

- $HK$: có vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{SH}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Với $\vec{SH} = \left(0,0,a\sqrt{3}\right)$

Tính tích có hướng:

$\vec{u} \times \vec{v} = \left(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}, \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}, \dfrac{a^2}{4}\right)$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$

Tích hỗn tạp: $[\vec{SH}, \vec{u}, \vec{v}] = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$

=> $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$