Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc IMO+góc INO=180 độ
=>IMON nội tiếp
b: Xét ΔINH và ΔIKN có
góc INH=góc IKN
góc NIH chung
=>ΔINH đồng dạng với ΔIKN
=>IN^2=IH*IK
Để chứng minh HM.KN=HN.KM, ta sẽ sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN và KMNO.
Ta có:
Tứ giác HMIN là tứ giác nội tiếp do hai tiếp tuyến IM và IN của đường tròn (O).
Tứ giác KMNO là tứ giác điều hòa do K là điểm đối xứng của M qua O.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN, ta được:
HM.IN + HN.IM = HI.MN
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KMNO, ta được:
KM.NO + KO.MN = KN.MO
Vì K là điểm đối xứng của M qua O nên KO=OM. Thay vào biểu thức trên, ta được:
KM.NO + OM.MN = KN.MO
KM.NO + MN² = KN.MO
Nhân cả hai vế của phương trình trên với IM.IN, ta được:
KM.NO.IM.IN + MN².IM.IN = KN.MO.IM.IN
HM.KN + MN².IM.IN = HN.KM.IM.IN
Từ đó suy ra:
HM.KN = HN.KM + MN²/IM.IN
Nhưng IM và IN lần lượt là đường cao của tam giác HIM và tam giác HIN nên:
IM.IN = HM.HN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN²/HM.HN
Ta thấy rằng tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
HM/HN = IM/IN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².IM²/IN²
Vì tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
IM/IN = HM/HN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².HM²/HN²
Điều này chứng tỏ HM.KN=HN.KM nên ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.
Câu hỏi của Mafia - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em có thể tham khảo tại đây nhé.
Sửa đề: các tiếp tuyến IM,IN
a: Xét tứ giác OMIN có \(\hat{OMI}+\hat{ONI}=90^0+90^0=180^0\)
nên OMIN là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
IM,IN là các tiếp tuyến
Do đó: IM=IN và OI là phân giác của góc MON
ΔOMN cân tại O
mà OI là đường phân giác
nên OI⊥MN tại trung điểm của MN
Xét (O) có
ΔMHK nội tiếp
MK là đường kính
Do đó: ΔMHK vuông tại H
=>MH⊥IK tại H
Xét ΔIMK vuông tại M có MH là đường cao
nên \(IH\cdot IK=IM^2=IM\cdot IN\)
c: Gọi A là giao điểm của NP và KI, B là giao điểm của KN và MI
Xét (O) có
ΔMNK nội tiếp
MK là đường kính
Do đó: ΔMNK vuông tại N
=>MN⊥BK tại N
Ta có: NP⊥MK
BM⊥MK
Do đó: NP//BM
Ta có: \(\hat{INM}+\hat{INB}=\hat{MNB}=90^0\)
\(\hat{IMN}+\hat{IBN}=90^0\) (ΔMNB vuông tại N)
mà \(\hat{IMN}=\hat{INM}\) (ΔIMN cân tại I)
nên \(\hat{INB}=\hat{IBN}\)
=>IN=IB
mà IN=IM
nên IM=IB(1)
Xét ΔKIB có NA//IB
nên \(\frac{NA}{IB}=\frac{KA}{KI}\) (2)
Xét ΔKMI có AP//MI
nên \(\frac{AP}{MI}=\frac{KA}{KI}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AN=AP
=>A là trung điểm của NP
=>KI đi qua trung điểm của NP