A B x y O C D M

a) Xét \(\Delta\)CAO và \(\Delta\)OBD: ^CAO=^OBD=90⁰; ^AOC=^BDO (Cùng phụ ^BOD)

=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (g.g) => \(\frac{AC}{BO}=\frac{AO}{BD}\Rightarrow AO.BO=AC.BD\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=AC.BD\Leftrightarrow\frac{1}{4}AB^2=AC.BD\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4.AC.BD\)(đpcm)

b) Ta có: \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (cmt) => \(\frac{AC}{OB}=\frac{OC}{OD}\) hay \(\frac{AC}{OA}=\frac{OC}{OD}\) (Do OA=OB)

=> \(\frac{AC}{OC}=\frac{OA}{OD}\)=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)COD (Cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> ^ACO=^OCD hay ^ACO=^MCO => \(\Delta\)CAO=\(\Delta\)CMO (Cạnh huyền góc nhọn)

=> AC=CM (đpcm).

O A B C D I M H K

Xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta DBO\)có :

\(\widehat{CAO}=\widehat{DBO}\left(=90^o\right)\); \(\widehat{COA}=\widehat{ODB}\)( cùng phụ \(\widehat{DOB}\))

\(\Rightarrow\)\(\Delta OAC\)~ \(\Delta DBO\)( g . g )

\(\Rightarrow\)\(\frac{OA}{BD}=\frac{AC}{BO}\) \(\Rightarrow\)OA . OB = BD . AC \(\Rightarrow\)AB² = 4BD . AC

b) \(\Delta OAC\)~ \(\Delta DBO\)(g.g) \(\Rightarrow\)\(\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}\)

xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta DOC\)có : \(\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}\); \(\widehat{CAO}=\widehat{COD}=90^o\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta OAC\)~ \(\Delta DOC\)(c.g.c) \(\Rightarrow\)\(\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\)

xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta MCO\)có : \(\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\); CO ( chung )

\(\Rightarrow\)\(\Delta ACO=\Delta MCO\left(ch-gn\right)\)\(\Rightarrow\)CA = CM ; OA = OM ; 

c) OC là đường trung trực AM \(\Rightarrow\)OC \(\perp\)AM

Mặt khác : OA = OB = OM \(\Rightarrow\)\(\Delta AMB\)vuông tại M

\(\Rightarrow\)OC // BM

gọi gđ BM với AC là I

\(\Delta ABI\)có OC đi qua trung điểm AB và OC // BI \(\Rightarrow\)IC = AC

gọi K là gđ BC với MH

MH // AI \(\Rightarrow\)\(\frac{MK}{IC}=\frac{BK}{BC}=\frac{KH}{AC}\) \(\Rightarrow\)BK = KH 

\(\Rightarrow\)BC đi qua trung điểm MH

d) tứ giác ABDC là hình thang vuông \(\Rightarrow\)\(S_{ABDC}=\frac{1}{2}.\left(AC+BD\right).AB\)

Ta có : \(AC+BD\ge2\sqrt{AC.BD}=AB\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ABDC}=\frac{1}{2}.\left(AC+BD\right).AB\ge\frac{1}{2}.AB^2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BD = \(\frac{AB}{2}=OA\)

Vậy C thuộc Ax và cách A 1 khoảng bằng OA

a: Gọi K là giao điểm của CO và BD

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>AC=BK và OC=OK

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>DC=DK

=>DC=DB+BK=DB+AC

b:

ΔDOC=ΔDOK

=>\(\hat{ODC}=\hat{ODK}\)

Xét ΔDMO vuông tại M và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{MDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDMO=ΔDBO

=>DM=DB

Ta có: DM+MC=DC

AC+BD=CD

mà DM=DB

nên MC=CA

Xét ΔNAC và ΔNDB có

\(\hat{NAC}=\hat{NDB}\) (hai góc so le trong, AC//BD)

\(\hat{ANC}=\hat{DNB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNAC~ΔNDB

=>\(\frac{NA}{ND}=\frac{NC}{NB}=\frac{AC}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

=>\(\frac{DN}{NA}=\frac{DM}{MC}\)

Xét ΔDCA có \(\frac{DM}{MC}=\frac{DN}{NA}\)

nên MN//AC

Cho hỏi D là điểm nào vậy

a, \(\Delta CAO~\Delta OBD\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OA}{BD}=\frac{AC}{OB}\Rightarrow\frac{AB}{2BD}=\frac{2AC}{AB}\Rightarrow AB^2=4.AC.BD\)

b, \(\Delta CAO~\Delta COD\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{MCO}\)

\(\Delta CAO=\Delta CMO\left(ch-gn\right)\Rightarrow AC=CM\)

c, Gọi giao điểm MH và BC là N

Tương tự b, BD=MD 

Do \(CA//BD\Rightarrow\frac{CA}{BD}=\frac{CN}{NB}\Rightarrow\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}\)

\(\Rightarrow MN//BD\Rightarrow NH//BD\Rightarrow\frac{NH}{BD}=\frac{NA}{BD}\Rightarrow\frac{NH}{BD}=\frac{CN}{NB}\Rightarrow\frac{NH}{BD}=\frac{NM}{BD}\)

\(\Rightarrow NM=NH\)

d, Ta có: \(S_{ABCD}=\frac{\left(CA+BD\right)AB}{2}\ge\frac{AC.BD.AB}{2}=\frac{\frac{AB^2}{4}.AB}{2}=\frac{AB^3}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}AC=BD\\AC.BD=\frac{AB^2}{4}\end{cases}\Rightarrow}AC=BD=\frac{AB}{2}\)

OK, GOOD LUCK!!!

Lần sau làm câu d thôi

1:Gọi giao của DO và CB là H

Xét ΔOAD vuông tại A và ΔOBH vuông tại B có

OA=OB

góc AOD=góc BOH

=>ΔOAD=ΔOBH

=>OD=OH

=>ΔCDH cân tại C

=>ΔAOD đồng dạng với ΔBOH

Xét ΔBOH vuông tại B và ΔOCH vuông tại O có

góc BHO chung

=>ΔBOH đồng dang với ΔOCH

=>ΔAOD đồng dạng với ΔOCH

2: ΔCHD cân tại C

=>góc CDH=góc CHD=góc ADH

=>DH là phân giác của góc ADC

Cảm ơn bạn nha