Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo mình đề chứng minh: \(3Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)
⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2
⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự
⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y
⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0
(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)
dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c
Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33
Ha~ Idol về mảng copy nay giỏi quá lè:33. Tác hại của việc copy paste là đây
Lần sai copy paste nhớ nhìn lại với chỉnh sửa đi nhá. Ko để này lộ liễu bôi bác lắm
Copy always mà vẫn 50k giải tuần đấy, ghê=))
Lần sau copy nhớ ghi nguồn nha cậu :)
Nhìn cái câu trả lời bị lặp lại 2 lần mà mình thấy máy mình lag quá :)
Ngta nhắc cho thì phải biết tiếp thu chứ không phải cứ đi k sai cho người ta như thế :)
Lần trước war không đủ để cậu thay đổi à?
(: Em ý nói do máy lag nên bị viết lại 2 lần
Chứ có phải là do copy đou (:
bài 2 ta có đánh giá \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)
xây dựng các đánh giá tương tự có đpcm
Thú thật hồi hơn 2 năm trước, lúc mới dùng Olm, mình cũng copy nhiều lắm.
Nên cái việc copy paste nó lỗi và lặp lại 2 lần là quá quen thuộc với mình và đa phần các bạn lâu năm ở Olm
Mình thấy bạn là cô gái vàng trong làng copy đấy bạn.
Copy cũng được, nhưng phải ghi nguồn rõ ràng. Chứ bạn cứ copy paste mà ko ghi nguồn thì chả khác nào bạn đi cướp công, cướp chất xám của người ta cả
Nói thì bạn nên tiếp thu nhớ, chứ đừng giở cái tính trechou ra đi war với tụi mình thì....chỉ có thiệt bạn thoi=))
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\frac{x+y}{2}\\b=\frac{y+z}{2}\\c=\frac{z+x}{2}\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}a+b-c=y\\b+c-a=z\\a+c-b=x\end{cases}}\)
Khi đó bài toán trở thành \(\left(\frac{x+y}{2}\right)\left(\frac{y+z}{2}\right)\left(\frac{z+x}{2}\right)\ge xyz\)
\(< =>\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\ge xyz\)
\(< =>\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)
\(< =>\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(z+x\right)-8xyz\ge0\)
\(< =>x^2y+xyz+x^2z+xz^2+y^2z+y^2x+xyz+yz^2-8xyz=0\)
\(< =>x\left(y-z\right)^2+y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 1 :
Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a+a+c-b=2c=x+y\\b+c-a+a+b-c=2b=x+z\\a+c-b+a+b-c=2a=y+z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{y+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}\)
Ta có : \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x,y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ ta được :
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{2}\left(\sqrt{x+y}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}};\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{z+x}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\ge2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+z}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{y+z}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{x+z}}{\sqrt{2}}}\)
Vậy BĐT được CM
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
Thực ra thì cần có điều kiện a, b, c là 3 cạnh tam giác mới làm như bạn Hải Ngọc được nhé :D
\(BĐT\Leftrightarrow a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\) khi đó:
\(\left(a-b\right)\left[a\left(a-c\right)-b\left(b-c\right)\right]+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) ( đúng )
Vậy ..............
Và thực ra thì bài 2 có vô số kiểu SOS. Bác coolkid GOD IMO nhóm tách ghê quá