Bài 2 : đề bài này chỉ cần a,b>0 , ko cần phải thuộc N* đâu

a, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số lhoong âm a,b ta được :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\) . Dấu "=" xảy ra khi a=b

b , Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân vế với vế ta được :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2.2.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)

Dấu "="xảy ra tại a=b

Bài 1.

Vì a, b, c, d \(\in\) N*, ta có:

\(\dfrac{a}{a+b+c+d}< \dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}\)

\(\dfrac{b}{a+b+c+d}< \dfrac{b}{a+b+d}< \dfrac{b}{a+b}\)

\(\dfrac{c}{a+b+c+d}< \dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c}{c+d}\)

\(\dfrac{d}{a+b+c+d}< \dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{d}{c+d}\)

Do đó \(\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}< M< \left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}\right)\)hay 1<M<2.

Vậy M không có giá trị là số nguyên.

Bài 1 :

Xét BĐT : \(\dfrac{m}{n}< \dfrac{m+x}{n+x}\) , với x > 0 và m<n

<=>m(n+x) < n(m+x)

<=>mn+mx < mn + nx

<=> mx < nx <=> m<n ( hiển nhiên đúng )

* Chứng minh M > 1

Ta có : \(\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{b}{b+a+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{b+c+d}>\dfrac{c}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{d}{a+c+d}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\)

Cộng vế với vế ta suy ra :

M > \(\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) (*)

* Chứng minh A < 2

\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{b}{b+a+d}< \dfrac{b+c}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c+a}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{d+b}{a+b+c+d}\)

Cộng vế với vế => M < 2 (**)

Từ (*) và (**) => 1<M<2 => M không có giá trị nguyên

Bài 1:

Với \(a,b,c,d>0\)

\(M>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)

Mặt khác:

\(M=1-\frac{b+c}{a+b+c}+1-\frac{a+d}{a+b+d}+1-\frac{b+d}{b+c+d}+1-\frac{a+c}{a+c+d}\)

\(=4-\left ( \frac{b+c}{a+b+c}+\frac{a+d}{a+b+d}+\frac{b+d}{b+c+d}+\frac{a+c}{a+c+d} \right )\)

\(<4-\left ( \frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+d}{a+b+c+d}+\frac{a+c}{a+b+c+d} \right )=2\)

Vậy \(1 < M <2\Rightarrow M\not\in\mathbb{Z}\) (đpcm)

Bài 2:

a) Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}-2\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\)

BĐT luôn đúng với mọi \(a,b>0\), do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

b) Áp dụng phần a:

\((a+b)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2+2=4\)

Do đó ta có đpcm.

Bài 2.

a) * Xét a=b ta có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{a}=2\).

* Xét a >b đặt a=b+m; m\(\in\)N*.

Ta có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=\dfrac{b}{b}+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}>1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=2\)* Xét a< b. Tương tự trên ta cũng có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) với a, b \(\in\) N*.

Câu b tương tự nhé

bạn ơi đây là bài lớp mấy vậy.

công chúa Serenity nếu nâng cao thì là nâng cao ( dạng cơ bản nhất của bất đẳng thức lớp 8 ) , còn nếu không phải nâng cao , hình như đầu sách giáo khoa lớp 10 có đó bạn .. cái này đầu lớp 10 sẽ học

mình năm nay lên 7 nên hổng biết

công chúa Serenity cái bài đầu tiên có thể nói là lớp 7 nhưng bài sau thì ....... có thể do cô bạn tăng nhanh tiến độ cấp , lớp , dù sao cũng là nâng cao mà