1). Vì MP là đường kính suy ra  P N ⊥ M N  (1).

Vì MD là đường kính suy ra  D N ⊥ M N  (2).

Từ (1) và (2), suy ra N; P; D thẳng hàng.

a: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{1-2+6}{3}=\frac{7-2}{3}=\frac53\\ y=\frac{8-1+3}{3}=\frac{11-1}{3}=\frac{10}{3}\end{cases}\)

=>G(5/3;10/3)

H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB; BH⊥AC; AH⊥BC

A(1;8); B(-2;-1); C(6;3); H(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;-1-8\right)=\left(-3;-9\right)\) ; \(\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-1;3-8\right)=\left(5;-5\right)\) ; \(\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) (BH⊥AC)

=>5(x+2)+(-5)(y+1)=0

=>x+2-(y+1)=0

=>x+2-y-1=0

=>x-y+1=0

=>x=y-1

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) (CH⊥AB)

=>-3(x-6)+(-9)(y-3)=0

=>(x-6)+3(y-3)=0

=>x-6+3y-9=0

=>x+3y-15=0

=>x=-3y+15

=>-3y+15=y-1

=>-4y=-16

=>y=4

=>x=y-1=4-1=3

=>H(3;4)

I(x;y); A(1;8); B(-2;-1); C(6;3)

\(IA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-8\right)^2\)

\(IB^2=\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

\(IC^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2-16y+64=x_{}^2+4x+4+y^2+2y+1\\ x^2-2x+1+y^2-16y+64=x^2-12x+36+y^2-6y+9\end{cases}\)

=>-2x-16y+65=4x+2y+5 và -2x-16y+65=-12x-6y+45

=>-2x-4x-16y-2y=5-65 và -2x-16y+12x+6y=45-65

=>-6x-18y=-60 và 10x-10y=-20

=>x+3y=10 và x-y=-2

=>x+3y-x+y=10+2

=>4y=12

=>y=3

x-y=-2

=>x=y-2=3-2=1

=>I(1;3)

b: I(1;3); H(3;4); G(5/3;10/3)

\(\overrightarrow{IH}=\left(3-1;4-3\right)=\left(2;1\right);\overrightarrow{IG}=\left(\frac53-1;\frac{10}{3}-3\right)=\left(\frac23;\frac13\right)\)

Vì \(2:\frac23=1:\frac13\)

nên I,H,G thẳng hàng

Gọi BE, CF, AN là đường cao của TAM GIÁC ABC

Vì BE//DC⇒BH//DC(1)

CF//BD⇒CD//BH(2)

Từ (1)và(2)⇒BHCD là hình bình hành

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do  H E ∥ B C ⊥ H A  ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có A P H ^ = A E H ^  (góc nội tiếp)

= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)

⇒ P H ≡ P B

2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^  

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra  E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B

Tương tự F I ∥ H C ;   E F ∥ B C ⇒ Δ I E F   v à   Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.