Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ab+bc+ca=414
=>2a+2b+2c=414
=>2(a+b+c)=414
=>a+b+c=207
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
a/2=b/3=c/8=a+b+c/2+3+8=207/13=15,9
a/2=15,9=>a=31,8
b/3=15,9=>b=47,7
c/8=15,9=>c=127,2
Kết luận
cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn ab/a+b=bc/b+c=ca/c+a
tính giá trị của biểu thức M=ab+bc+ca/a^2+b^2+c^2
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
Ta có: \(P=\dfrac{a}{bc}+\dfrac{2b}{ca}+\dfrac{5c}{ab}\)\(=\dfrac{a^2+2b^2+5c^2}{abc}\)
Vì \(a,b,c>0\) và \(a^2+b^2+c^2=6\).
Áp dụng phương pháp bất đẳng thức kết hợp điều kiện, ta sẽ chứng minh:
\(a^2+2b^2+5c^2\geq 2\sqrt6abc\).
Khi đó: \(P=\dfrac{a^2+2b^2+5c^2}{abc}\geq 2\sqrt6\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a^2=3,\ b^2=2,\ c^2=1\).
Chứng minh bất đẳng thức:
Đặt \(x=a^2,\ y=b^2,\ z=c^2\). Khi đó \(x+y+z=6\).
Xét biểu thức:
\(Q=\dfrac{x+2y+5z}{\sqrt{xyz}}\).
Theo bất đẳng thức AM-GM, \(Q\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=3,\ y=2,\ z=1\). Khi đó:
\(Q_{\min}=\dfrac{3+2\cdot2+5\cdot1}{\sqrt{3\cdot2\cdot1}}\)
\(=\dfrac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6\).
Suy ra \(P\geq 2\sqrt6\).
Vậy: \(P_{\min}=2\sqrt6\)
Đạt được khi \(a=\sqrt3,\ b=\sqrt2,\ c=1\).