Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có ÐOMP = 900 ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN
=> ÐOPM = ÐOCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC
=> => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
.
Gọi $AC=a,\ AB=b$ nên $BC=a+b$.
a) Chứng minh $CM\cdot CD$ không phụ thuộc vào $M$Vì $M$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BMC}=90^\circ$
Mà $D,C,M$ thẳng hàng và $A,D$ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với $AC$ nên:
$\widehat{CAD}=\widehat{BMC}=90^\circ$
Xét hai tam giác $\triangle CAD$ và $\triangle CMB$:
$\widehat{CAD}=\widehat{CMB}=90^\circ$
$\widehat{ACD}=\widehat{MCB}$
$\Rightarrow \triangle CAD\sim\triangle CMB$
Suy ra:
$\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$
$\Rightarrow CM\cdot CD=\dfrac{CB}{CA},CM^2$
Cách này không cho hằng số trực tiếp, nên ta dùng hệ thức lượng.
Từ tam giác vuông $CMB$:
$CM^2=CB\cdot CH$
với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $CB$.
Do đó:
$CM\cdot CD=CB\cdot CA$
Vậy:
$\boxed{CM\cdot CD=CA\cdot CB}$
không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
b) Tứ giác $APND$ là hình gì?Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $A,D\perp AC$ nên:
$\widehat{DAN}=90^\circ$
Mặt khác, $N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BNC}=90^\circ$
Do $A,C,B$ thẳng hàng nên:
$\widehat{ANP}=90^\circ$
Vậy:
$\widehat{DAN}=\widehat{ANP}=90^\circ$
Suy ra $A,D,N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$.
Hơn nữa, $AP\parallel DN$ và $AN\parallel DP$, nên $APND$ là hình bình hành có một góc vuông.
Do đó:
$\boxed{APND\text{ là hình chữ nhật}}$.
a, tự làm
b,
- Điểm M
- Không